Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{e}$ ; $[1, e^{3}]$

Bước 1

Giải bằng phương pháp thay thế để tìm phần giao giữa hai đường cong.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Loại bỏ các vế bằng nhau của mỗi phương trình sau đó kết hợp.

$\frac{1}{x} - \frac{1}{e} = 0$

Bước 1.2

Giải $\frac{1}{x} - \frac{1}{e} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Cộng $\frac{1}{e}$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{e}$

Bước 1.2.2

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$x, e + y = 0$

Bước 1.2.2.2

Vì $x, e$ chứa cả số và biến nên cần thực hiện hai bước để tìm BCNN. Tìm BCNN cho phần số $1, 1$ sau đó tìm BCNN cho phần biến $x^{1}$ .

Bước 1.2.2.3

BCNN là số dương nhỏ nhất mà tất cả các số chia đều cho nó.

$1$ Liệt kê các thừa số nguyên tố của từng số.

Bước 1.2.2.4

Số $1$ không phải là một số nguyên tố vì nó chỉ có một thừa số dương, cũng là chính nó.

Không phải là số nguyên tố

Bước 1.2.2.5

BCNN của $1, 1$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số nguyên tố với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số.

$1 + y = 0$

Bước 1.2.2.6

Thừa số cho $x^{1}$ là chính nó $x$ .

$x = x$

Bước 1.2.2.7

BCNN của $x^{1}$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số nguyên tố với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số hạng.

$x + y = 0$

Bước 1.2.3

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{1}{x} = \frac{1}{e}$ với $x$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{1}{x} = \frac{1}{e}$ với $x$ .

$\frac{1}{x} x = \frac{1}{e} x$

Bước 1.2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{x} x = \frac{1}{e} x$

Bước 1.2.3.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$1 = \frac{1}{e} x$

Bước 1.2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.3.1

Kết hợp $\frac{1}{e}$ và $x$ .

$1 = \frac{x}{e}$

Bước 1.2.4

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{x}{e} = 1$ .

$\frac{x}{e} = 1$

Bước 1.2.4.2

Nhân cả hai vế của phương trình với $e$ .

$e \frac{x}{e} = e \cdot 1$

Bước 1.2.4.3

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $e$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$e \frac{x}{e} = e \cdot 1$

Bước 1.2.4.3.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$x = e \cdot 1$

Bước 1.2.4.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.3.2.1

Nhân $e$ với $1$ .

$x = e$

Bước 1.3

Thay $e$ bằng $x$ .

$y = 0$

Bước 1.4

Đáp án cho hệ là tập hợp đầy đủ của các cặp có thứ tự cũng chính là các đáp án hợp lệ.

$(e, 0)$

Bước 2

Diện tích của vùng giữa các đường cong được xác định bằng tích phân của đường cong trên trừ đi tích phân của đường cong dưới trên mỗi vùng. Các vùng được xác định bởi các giao điểm của các đường cong. Điều này có thể được thực hiện theo phương pháp đại số hoặc phương pháp vẽ đồ thị.

$A r e a = \int_{1}^{e} \frac{1}{x} - \frac{1}{e} d x - \int_{1}^{e} 0 d x$

Bước 3

Lấy tích phân để tìm diện tích giữa $1$ và $e$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp các tích phân thành một tích phân.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} - \frac{1}{e} - (0) d x$

Bước 3.2

Trừ $0$ khỏi $\frac{1}{x} - \frac{1}{e}$ .

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} - \frac{1}{e} d x$

Bước 3.3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{e} - \frac{1}{e} d x$

Bước 3.4

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} - \frac{1}{e} d x$

Bước 3.5

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\ln (| x |)]_{1}^{e} + - \frac{1}{e} x]_{1}^{e}$

Bước 3.6

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Kết hợp $\ln (| x |)]_{1}^{e}$ và $- \frac{1}{e} x]_{1}^{e}$ .

$\ln (| x |) - \frac{1}{e} x]_{1}^{e}$

Bước 3.6.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.1

Tính $\ln (| x |) - \frac{1}{e} x$ tại $e$ và tại $1$ .

$(\ln (| e |) - \frac{1}{e} e) - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

Bước 3.6.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.2.1

Kết hợp $e$ và $\frac{1}{e}$ .

$\ln (| e |) - \frac{e}{e} - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

Bước 3.6.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $e$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (| e |) - \frac{e}{e} - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

Bước 3.6.2.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\ln (| e |) - 1 \cdot 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

Bước 3.6.2.2.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\ln (| e |) - 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

Bước 3.6.2.2.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\ln (| e |) - 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e})$

Bước 3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.1

$e$ xấp xỉ $2.71828182$ , là một số dương, nên ta loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

$\ln (e) - 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e})$

Bước 3.7.1.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$1 - 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e})$

Bước 3.7.1.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.3.1

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$1 - 1 - (\ln (1) - \frac{1}{e})$

Bước 3.7.1.3.2

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$1 - 1 - (0 - \frac{1}{e})$

Bước 3.7.1.4

Trừ $\frac{1}{e}$ khỏi $0$ .

$1 - 1 - - \frac{1}{e}$

Bước 3.7.1.5

Nhân $- - \frac{1}{e}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.5.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 - 1 + 1 \frac{1}{e}$

Bước 3.7.1.5.2

Nhân $\frac{1}{e}$ với $1$ .

$1 - 1 + \frac{1}{e}$

Bước 3.7.2

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$0 + \frac{1}{e}$

Bước 3.7.3

Cộng $0$ và $\frac{1}{e}$ .

$\frac{1}{e}$

Bước 4

$A r e a = \int_{e}^{e^{3}} 0 d x - \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{x} - \frac{1}{e} d x$

Bước 5

Lấy tích phân để tìm diện tích giữa $e$ và $e^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp các tích phân thành một tích phân.

$\int_{e}^{e^{3}} 0 - (\frac{1}{x} - \frac{1}{e}) d x$

Bước 5.2

Trừ $\frac{1}{x} - \frac{1}{e}$ khỏi $0$ .

$\int_{e}^{e^{3}} - (\frac{1}{x} - \frac{1}{e}) d x$

Bước 5.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int_{e}^{e^{3}} - \frac{1}{x} + \frac{1}{e} d x$

Bước 5.4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{e}^{e^{3}} - \frac{1}{x} d x + \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{e} d x$

Bước 5.5

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{x} d x + \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{e} d x$

Bước 5.6

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$- (\ln (| x |)]_{e}^{e^{3}}) + \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{e} d x$

Bước 5.7

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- (\ln (| x |)]_{e}^{e^{3}}) + \frac{1}{e} x]_{e}^{e^{3}}$

Bước 5.8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.1

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.1.1

Tính $\ln (| x |)$ tại $e^{3}$ và tại $e$ .

$- ((\ln (| e^{3} |)) - \ln (| e |)) + \frac{1}{e} x]_{e}^{e^{3}}$

Bước 5.8.1.2

Tính $\frac{1}{e} x$ tại $e^{3}$ và tại $e$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{1}{e} e^{3} - \frac{1}{e} e$

Bước 5.8.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.1.3.1

Kết hợp $\frac{1}{e}$ và $e^{3}$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e^{3}}{e} - \frac{1}{e} e$

Bước 5.8.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $e^{3}$ và $e$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.1.3.2.1

Đưa $e$ ra ngoài $e^{3}$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e e^{2}}{e} - \frac{1}{e} e$

Bước 5.8.1.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.1.3.2.2.1

Nhân với $1$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e e^{2}}{e \cdot 1} - \frac{1}{e} e$

Bước 5.8.1.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e e^{2}}{e \cdot 1} - \frac{1}{e} e$

Bước 5.8.1.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e^{2}}{1} - \frac{1}{e} e$

Bước 5.8.1.3.2.2.4

Chia $e^{2}$ cho $1$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - \frac{1}{e} e$

Bước 5.8.1.3.3

Kết hợp $e$ và $\frac{1}{e}$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - \frac{e}{e}$

Bước 5.8.1.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $e$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.1.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - \frac{e}{e}$

Bước 5.8.1.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - 1 \cdot 1$

Bước 5.8.1.3.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - 1$

Bước 5.8.2

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{| e^{3} |}{| e |}) + e^{2} - 1$

Bước 5.8.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.3.1

$e^{3}$ xấp xỉ $20.08553692$ , là một số dương, nên ta loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

$- \ln (\frac{e^{3}}{| e |}) + e^{2} - 1$

Bước 5.8.3.2

$e$ xấp xỉ $2.71828182$ , là một số dương, nên ta loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

$- \ln (\frac{e^{3}}{e}) + e^{2} - 1$

Bước 5.8.3.3

Triệt tiêu thừa số chung của $e^{3}$ và $e$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.3.3.1

Đưa $e$ ra ngoài $e^{3}$ .

$- \ln (\frac{e e^{2}}{e}) + e^{2} - 1$

Bước 5.8.3.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.3.3.2.1

Nhân với $1$ .

$- \ln (\frac{e e^{2}}{e \cdot 1}) + e^{2} - 1$

Bước 5.8.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \ln (\frac{e e^{2}}{e \cdot 1}) + e^{2} - 1$

Bước 5.8.3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \ln (\frac{e^{2}}{1}) + e^{2} - 1$

Bước 5.8.3.3.2.4

Chia $e^{2}$ cho $1$ .

$- \ln (e^{2}) + e^{2} - 1$

Bước 5.8.3.4

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $2$ ra khỏi số mũ.

$- (2 \ln (e)) + e^{2} - 1$

Bước 5.8.3.5

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$- (2 \cdot 1) + e^{2} - 1$

Bước 5.8.3.6

Nhân $2$ với $1$ .

$- 1 \cdot 2 + e^{2} - 1$

Bước 5.8.3.7

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 + e^{2} - 1$

Bước 5.8.3.8

Trừ $1$ khỏi $- 2$ .

$e^{2} - 3$

Bước 6