Giải tích Ví dụ

$f (x) = 4 e^{x} - 3$ ; $[- 4, 3]$

Bước 1

Giải bằng phương pháp thay thế để tìm phần giao giữa hai đường cong.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Loại bỏ các vế bằng nhau của mỗi phương trình sau đó kết hợp.

$4 e^{x} - 3 = 0$

Bước 1.2

Giải $4 e^{x} - 3 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$4 e^{x} = 3$

Bước 1.2.2

Chia mỗi số hạng trong $4 e^{x} = 3$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $4 e^{x} = 3$ cho $4$ .

$\frac{4 e^{x}}{4} = \frac{3}{4}$

Bước 1.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 e^{x}}{4} = \frac{3}{4}$

Bước 1.2.2.2.1.2

Chia $e^{x}$ cho $1$ .

$e^{x} = \frac{3}{4}$

Bước 1.2.3

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{3}{4})$

Bước 1.2.4

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Khai triển $\ln (e^{x})$ bằng cách di chuyển $x$ ra bên ngoài lôgarit.

$x \ln (e) = \ln (\frac{3}{4})$

Bước 1.2.4.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{3}{4})$

Bước 1.2.4.3

Nhân $x$ với $1$ .

$x = \ln (\frac{3}{4})$

Bước 1.3

Thay $\ln (\frac{3}{4})$ bằng $x$ .

$y = 0$

Bước 1.4

Đáp án cho hệ là tập hợp đầy đủ của các cặp có thứ tự cũng chính là các đáp án hợp lệ.

$(\ln (\frac{3}{4}), 0)$

Bước 2

Diện tích của vùng giữa các đường cong được xác định bằng tích phân của đường cong trên trừ đi tích phân của đường cong dưới trên mỗi vùng. Các vùng được xác định bởi các giao điểm của các đường cong. Điều này có thể được thực hiện theo phương pháp đại số hoặc phương pháp vẽ đồ thị.

$A r e a = \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 0 d x - \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 4 e^{x} - 3 d x$

Bước 3

Lấy tích phân để tìm diện tích giữa $- 4$ và $\ln (\frac{3}{4})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp các tích phân thành một tích phân.

$\int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 0 - (4 e^{x} - 3) d x$

Bước 3.2

Trừ $4 e^{x} - 3$ khỏi $0$ .

$\int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} - (4 e^{x} - 3) d x$

Bước 3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} - (4 e^{x}) + 3 d x$

Bước 3.4

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Nhân $4$ với $- 1$ .

$- 4 e^{x} - - 3$

Bước 3.4.2

Nhân $- 1$ với $- 3$ .

$- 4 e^{x} + 3$

$\int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} - 4 e^{x} + 3 d x$

Bước 3.5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} - 4 e^{x} d x + \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 3 d x$

Bước 3.6

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 4$ ra khỏi tích phân.

$- 4 \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} e^{x} d x + \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 3 d x$

Bước 3.7

Tích phân của $e^{x}$ đối với $x$ là $e^{x}$ .

$- 4 (e^{x}]_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})}) + \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 3 d x$

Bước 3.8

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- 4 (e^{x}]_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})}) + 3 x]_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})}$

Bước 3.9

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1

Tính $e^{x}$ tại $\ln (\frac{3}{4})$ và tại $- 4$ .

$- 4 ((e^{\ln (\frac{3}{4})}) - e^{- 4}) + 3 x]_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})}$

Bước 3.9.2

Tính $3 x$ tại $\ln (\frac{3}{4})$ và tại $- 4$ .

$- 4 (e^{\ln (\frac{3}{4})} - e^{- 4}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) - 3 \cdot - 4$

Bước 3.9.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.3.1

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$- 4 (\frac{3}{4} - e^{- 4}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) - 3 \cdot - 4$

Bước 3.9.3.2

Nhân $- 3$ với $- 4$ .

$- 4 (\frac{3}{4} - e^{- 4}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Bước 3.10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.1.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 (\frac{3}{4} - \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Bước 3.10.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 4 (\frac{3}{4}) - 4 (- \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Bước 3.10.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.1.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{3}{4} - 4 (- \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Bước 3.10.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 \cdot - 1 \frac{3}{4} - 4 (- \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Bước 3.10.1.3.3

Viết lại biểu thức.

$- 1 \cdot 3 - 4 (- \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Bước 3.10.1.4

Nhân $- 1$ với $3$ .

$- 3 - 4 (- \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Bước 3.10.1.5

Nhân $- 4 (- \frac{1}{e^{4}})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.1.5.1

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$- 3 + 4 \frac{1}{e^{4}} + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Bước 3.10.1.5.2

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{e^{4}}$ .

$- 3 + \frac{4}{e^{4}} + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Bước 3.10.2

Cộng $- 3$ và $12$ .

$\frac{4}{e^{4}} + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 9$

Bước 4

$A r e a = \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 4 e^{x} - 3 d x - \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 0 d x$

Bước 5

Lấy tích phân để tìm diện tích giữa $\ln (\frac{3}{4})$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Lấy tích phân để tìm diện tích giữa $\ln (\frac{3}{4})$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Kết hợp các tích phân thành một tích phân.

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 0 - (4 e^{x} - 3) d x$

Bước 5.1.2

Trừ $4 e^{x} - 3$ khỏi $0$ .

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - (4 e^{x} - 3) d x$

Bước 5.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - (4 e^{x}) + 3 d x$

Bước 5.1.4

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.4.1

Nhân $4$ với $- 1$ .

$- 4 e^{x} - - 3$

Bước 5.1.4.2

Nhân $- 1$ với $- 3$ .

$- 4 e^{x} + 3$

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - 4 e^{x} + 3 d x$

Bước 5.1.5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - 4 e^{x} d x + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 3 d x$

Bước 5.1.6

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 4$ ra khỏi tích phân.

$- 4 \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} e^{x} d x + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 3 d x$

Bước 5.1.7

Tích phân của $e^{x}$ đối với $x$ là $e^{x}$ .

$- 4 (e^{x}]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}) + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 3 d x$

Bước 5.1.8

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- 4 (e^{x}]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}) + 3 x]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}$

Bước 5.1.9

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.9.1

Tính $e^{x}$ tại $3$ và tại $\ln (\frac{3}{4})$ .

$- 4 ((e^{3}) - e^{\ln (\frac{3}{4})}) + 3 x]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}$

Bước 5.1.9.2

Tính $3 x$ tại $3$ và tại $\ln (\frac{3}{4})$ .

$- 4 (e^{3} - e^{\ln (\frac{3}{4})}) + 3 \cdot 3 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Bước 5.1.9.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.9.3.1

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$- 4 (e^{3} - \frac{3}{4}) + 3 \cdot 3 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Bước 5.1.9.3.2

Nhân $3$ với $3$ .

$- 4 (e^{3} - \frac{3}{4}) + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Bước 5.1.10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.10.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.10.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 4 e^{3} - 4 (- \frac{3}{4}) + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Bước 5.1.10.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.10.1.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{3}{4}$ vào tử số.

$- 4 e^{3} - 4 (\frac{- 3}{4}) + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Bước 5.1.10.1.2.2

Đưa $4$ ra ngoài $- 4$ .

$- 4 e^{3} + 4 (- 1) \frac{- 3}{4} + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Bước 5.1.10.1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 4 e^{3} + 4 \cdot - 1 \frac{- 3}{4} + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Bước 5.1.10.1.2.4

Viết lại biểu thức.

$- 4 e^{3} - - 3 + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Bước 5.1.10.1.3

Nhân $- 1$ với $- 3$ .

$- 4 e^{3} + 3 + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Bước 5.1.10.2

Cộng $3$ và $9$ .

$- 4 e^{3} + 12 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Bước 5.2

Kết hợp các tích phân thành một tích phân.

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 4 e^{x} - 3 - (0) d x$

Bước 5.3

Trừ $0$ khỏi $4 e^{x} - 3$ .

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 4 e^{x} - 3 d x$

Bước 5.4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 4 e^{x} d x + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - 3 d x$

Bước 5.5

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$4 \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} e^{x} d x + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - 3 d x$

Bước 5.6

Tích phân của $e^{x}$ đối với $x$ là $e^{x}$ .

$4 (e^{x}]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}) + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - 3 d x$

Bước 5.7

Áp dụng quy tắc hằng số.

$4 (e^{x}]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}) + - 3 x]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}$

Bước 5.8

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.1

Tính $e^{x}$ tại $3$ và tại $\ln (\frac{3}{4})$ .

$4 ((e^{3}) - e^{\ln (\frac{3}{4})}) + - 3 x]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}$

Bước 5.8.2

Tính $- 3 x$ tại $3$ và tại $\ln (\frac{3}{4})$ .

$4 (e^{3} - e^{\ln (\frac{3}{4})}) + - 3 \cdot 3 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Bước 5.8.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.3.1

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$4 (e^{3} - \frac{3}{4}) - 3 \cdot 3 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Bước 5.8.3.2

Nhân $- 3$ với $3$ .

$4 (e^{3} - \frac{3}{4}) - 9 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Bước 5.9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.9.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.9.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 e^{3} + 4 (- \frac{3}{4}) - 9 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Bước 5.9.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.9.1.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{3}{4}$ vào tử số.

$4 e^{3} + 4 (\frac{- 3}{4}) - 9 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Bước 5.9.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 e^{3} + 4 (\frac{- 3}{4}) - 9 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Bước 5.9.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$4 e^{3} - 3 - 9 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Bước 5.9.2

Trừ $9$ khỏi $- 3$ .

$4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Bước 6

Cộng các diện tích $\frac{4}{e^{4}} + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Rút gọn $3 \ln (\frac{3}{4})$ bằng cách di chuyển $3$ trong logarit.

$\frac{4}{e^{4}} + \ln ({(\frac{3}{4})}^{3}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Bước 6.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{3}{4}$ .

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{3^{3}}{4^{3}}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Bước 6.1.3

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{4^{3}}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Bước 6.1.4

Nâng $4$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{64}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Bước 6.1.5

Rút gọn $3 \ln (\frac{3}{4})$ bằng cách di chuyển $3$ trong logarit.

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{64}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln ({(\frac{3}{4})}^{3})$

Bước 6.1.6

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{3}{4}$ .

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{64}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{3^{3}}{4^{3}})$

Bước 6.1.7

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{64}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{27}{4^{3}})$

Bước 6.1.8

Nâng $4$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{64}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{27}{64})$

Bước 6.2

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{4}{e^{4}} + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{27}{64} \cdot \frac{27}{64})$

Bước 6.3

Nhân $\frac{27}{64} \cdot \frac{27}{64}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Nhân $\frac{27}{64}$ với $\frac{27}{64}$ .

$\frac{4}{e^{4}} + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{27 \cdot 27}{64 \cdot 64})$

Bước 6.3.2

Nhân $27$ với $27$ .

$\frac{4}{e^{4}} + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{729}{64 \cdot 64})$

Bước 6.3.3

Nhân $64$ với $64$ .

$\frac{4}{e^{4}} + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{729}{4096})$

Bước 6.4

Trừ $12$ khỏi $9$ .

$\frac{4}{e^{4}} + 4 e^{3} - 3 + \ln (\frac{729}{4096})$

Bước 7