Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{6}{8 x - 1}$ , $[4, 8]$

Bước 1

Giải bằng phương pháp thay thế để tìm phần giao giữa hai đường cong.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Loại bỏ các vế bằng nhau của mỗi phương trình sau đó kết hợp.

$\frac{6}{8 x - 1} = 0$

Bước 1.2

Giải $\frac{6}{8 x - 1} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Cho tử bằng không.

$6 = 0$

Bước 1.2.2

Vì $6 \neq 0$ , nên không có đáp án.

Không có đáp án

Bước 2

Diện tích của vùng giữa các đường cong được xác định bằng tích phân của đường cong trên trừ đi tích phân của đường cong dưới trên mỗi vùng. Các vùng được xác định bởi các giao điểm của các đường cong. Điều này có thể được thực hiện theo phương pháp đại số hoặc phương pháp vẽ đồ thị.

$A r e a = \int_{4}^{8} \frac{6}{8 x - 1} d x - \int_{4}^{8} 0 d x$

Bước 3

Lấy tích phân để tìm diện tích giữa $4$ và $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp các tích phân thành một tích phân.

$\int_{4}^{8} \frac{6}{8 x - 1} - (0) d x$

Bước 3.2

Trừ $0$ khỏi $\frac{6}{8 x - 1}$ .

$\int_{4}^{8} \frac{6}{8 x - 1} d x$

Bước 3.3

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$6 \int_{4}^{8} \frac{1}{8 x - 1} d x$

Bước 3.4

Giả sử $u = 8 x - 1$ . Sau đó $d u = 8 d x$ , nên $\frac{1}{8} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Hãy đặt $u = 8 x - 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1

Tính đạo hàm $8 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [8 x - 1]$

Bước 3.4.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $8 x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 3.4.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.3.1

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 x$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 3.4.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 3.4.1.3.3

Nhân $8$ với $1$ .

$8 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 3.4.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.4.1

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$8 + 0$

Bước 3.4.1.4.2

Cộng $8$ và $0$ .

$8$

Bước 3.4.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 8 x - 1$ .

$u_{lower} = 8 \cdot 4 - 1$

Bước 3.4.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Nhân $8$ với $4$ .

$u_{lower} = 32 - 1$

Bước 3.4.3.2

Trừ $1$ khỏi $32$ .

$u_{lower} = 31$

Bước 3.4.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 8 x - 1$ .

$u_{upper} = 8 \cdot 8 - 1$

Bước 3.4.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.5.1

Nhân $8$ với $8$ .

$u_{upper} = 64 - 1$

Bước 3.4.5.2

Trừ $1$ khỏi $64$ .

$u_{upper} = 63$

Bước 3.4.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 31$

$u_{upper} = 63$

Bước 3.4.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$6 \int_{31}^{63} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{8} d u$

Bước 3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{8}$ .

$6 \int_{31}^{63} \frac{1}{u \cdot 8} d u$

Bước 3.5.2

Di chuyển $8$ sang phía bên trái của $u$ .

$6 \int_{31}^{63} \frac{1}{8 u} d u$

Bước 3.6

Vì $\frac{1}{8}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{8}$ ra khỏi tích phân.

$6 (\frac{1}{8} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u)$

Bước 3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Kết hợp $\frac{1}{8}$ và $6$ .

$\frac{6}{8} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u$

Bước 3.7.2

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{2 (3)}{8} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u$

Bước 3.7.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u$

Bước 3.7.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u$

Bước 3.7.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{4} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u$

Bước 3.8

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\frac{3}{4} \ln (| u |)]_{31}^{63}$

Bước 3.9

Tính $\ln (| u |)$ tại $63$ và tại $31$ .

$\frac{3}{4} (\ln (| 63 |) - \ln (| 31 |))$

Bước 3.10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.1

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{3}{4} \ln (\frac{| 63 |}{| 31 |})$

Bước 3.10.2

Kết hợp $\frac{3}{4}$ và $\ln (\frac{| 63 |}{| 31 |})$ .

$\frac{3 \ln (\frac{| 63 |}{| 31 |})}{4}$

Bước 3.11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.1

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $63$ là $63$ .

$\frac{3 \ln (\frac{63}{| 31 |})}{4}$

Bước 3.11.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $31$ là $31$ .

$\frac{3 \ln (\frac{63}{31})}{4}$

Bước 4

Cộng các diện tích $\frac{3 \ln (\frac{63}{31})}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn $3 \ln (\frac{63}{31})$ bằng cách di chuyển $3$ trong logarit.

$\frac{\ln ({(\frac{63}{31})}^{3})}{4}$

Bước 4.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{63}{31}$ .

$\frac{\ln (\frac{63^{3}}{31^{3}})}{4}$

Bước 4.2.2

Nâng $63$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{\ln (\frac{250047}{31^{3}})}{4}$

Bước 4.2.3

Nâng $31$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{\ln (\frac{250047}{29791})}{4}$

Bước 4.3

Viết lại $\frac{\ln (\frac{250047}{29791})}{4}$ ở dạng $\frac{1}{4} \ln (\frac{250047}{29791})$ .

$\frac{1}{4} \ln (\frac{250047}{29791})$

Bước 4.4

Rút gọn $\frac{1}{4} \ln (\frac{250047}{29791})$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{4}$ trong logarit.

$\ln ({(\frac{250047}{29791})}^{\frac{1}{4}})$

Bước 4.5

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{250047}{29791}$ .

$\ln (\frac{250047^{\frac{1}{4}}}{29791^{\frac{1}{4}}})$

Bước 5