Giải tích Ví dụ

$a = π r \sqrt{r^{2} + h^{2}}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{r^{2} + h^{2}}$ ở dạng ${(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$a = π r {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 2

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d h} (a) = \frac{d}{d h} (π r {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Bước 3

Vì $a$ là hằng số đối với $h$ , đạo hàm của $a$ đối với $h$ là $0$ .

$0$

Bước 4

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $π$ không đổi đối với $h$ , nên đạo hàm của $π r {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}$ đối với $h$ là $π \frac{d}{d h} [r {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$π \frac{d}{d h} [r {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ là $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ trong đó $f (h) = r$ và $g (h) = {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$π (r \frac{d}{d h} [{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ là $f' (g (h)) g' (h)$ trong đó $f (h) = h^{\frac{1}{2}}$ và $g (h) = r^{2} + h^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $r^{2} + h^{2}$ .

$π (r (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Bước 4.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$π (r (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Bước 4.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $r^{2} + h^{2}$ .

$π (r (\frac{1}{2} {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Bước 4.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$π (r (\frac{1}{2} {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Bước 4.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$π (r (\frac{1}{2} {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Bước 4.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$π (r (\frac{1}{2} {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Bước 4.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$π (r (\frac{1}{2} {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Bước 4.7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$π (r (\frac{1}{2} {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Bước 4.8

Tính đạo hàm bằng quy tắc tổng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$π (r (\frac{1}{2} {(r^{2} + h^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Bước 4.8.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(r^{2} + h^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$π (r (\frac{{(r^{2} + h^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Bước 4.8.2.2

Di chuyển ${(r^{2} + h^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$π (r (\frac{1}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Bước 4.8.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ và $r$ .

$π (\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}] + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Bước 4.8.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $r^{2} + h^{2}$ đối với $h$ là $\frac{d}{d h} [r^{2}] + \frac{d}{d h} [h^{2}]$ .

$π (\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d h} [r^{2}] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Bước 4.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ là $f' (g (h)) g' (h)$ trong đó $f (h) = h^{2}$ và $g (h) = r$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.9.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $r$ .

$π (\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d h} [r] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Bước 4.9.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$π (\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 u_{2} \frac{d}{d h} [r] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Bước 4.9.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $r$ .

$π (\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 r \frac{d}{d h} [r] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Bước 4.10

Viết lại $\frac{d}{d h} [r]$ ở dạng $r'$ .

$π (\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 r r' + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Bước 4.11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ là $n h^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$π (\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 r r' + 2 h) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Bước 4.12

Viết lại $\frac{d}{d h} [r]$ ở dạng $r'$ .

$π (\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 r r' + 2 h) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r')$

Bước 4.13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.13.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$π (\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 r r' + 2 h)) + π ({(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r')$

Bước 4.13.2

Kết hợp $\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ và $π$ .

$\frac{r π}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 r r' + 2 h) + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r'$

Bước 4.13.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$(2 r r' + 2 h) \frac{r π}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r'$

Bước 4.13.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.13.4.1

Nhân $2 r r' + 2 h$ với $\frac{r π}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(2 r r' + 2 h) (r π)}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r'$

Bước 4.13.4.2

Đưa $2$ ra ngoài $(2 r r' + 2 h) (r π)$ .

$\frac{2 ((r r' + h) (r π))}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r'$

Bước 4.13.4.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.13.4.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 ((r r' + h) (r π))}{2 ({(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}})} + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r'$

Bước 4.13.4.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 ((r r' + h) (r π))}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r'$

Bước 4.13.4.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{(r r' + h) (r π)}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r'$

$\frac{(r r' + h) r π}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r'$

Bước 4.13.5

Để viết $π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r'$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(r r' + h) r π}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r' {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.13.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{(r r' + h) r π + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r' {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.13.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.13.7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(r r' r + h r) π + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r' {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.13.7.2

Nhân $r$ với $r$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.13.7.2.1

Di chuyển $r$ .

$\frac{(r \cdot r r' + h r) π + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r' {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.13.7.2.2

Nhân $r$ với $r$ .

$\frac{(r^{2} r' + h r) π + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r' {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.13.7.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{r^{2} r' π + h r π + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r' {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.13.7.4

Nhân ${(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}$ với ${(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.13.7.4.1

Di chuyển ${(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{r^{2} r' π + h r π + π ({(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}) r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.13.7.4.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{r^{2} r' π + h r π + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.13.7.4.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{r^{2} r' π + h r π + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.13.7.4.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{r^{2} r' π + h r π + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{2}{2}} r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.13.7.4.5

Chia $2$ cho $2$ .

$\frac{r^{2} r' π + h r π + π {(r^{2} + h^{2})}^{1} r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.13.7.5

Rút gọn $π {(r^{2} + h^{2})}^{1} r'$ .

$\frac{r^{2} r' π + h r π + π (r^{2} + h^{2}) r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.13.7.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{r^{2} r' π + h r π + (π r^{2} + π h^{2}) r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.13.7.7

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{r^{2} r' π + h r π + π r^{2} r' + π h^{2} r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.13.7.8

Cộng $r^{2} r' π$ và $π r^{2} r'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.13.7.8.1

Sắp xếp lại $r^{2}$ và $π$ .

$\frac{π r^{2} r' + π r^{2} r' + h r π + π h^{2} r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.13.7.8.2

Cộng $π r^{2} r'$ và $π r^{2} r'$ .

$\frac{2 π r^{2} r' + h r π + π h^{2} r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$0 = \frac{2 π r^{2} r' + h r π + π h^{2} r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 6

Giải tìm $r'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Cho tử bằng không.

$2 π r^{2} r' + h r π + π h^{2} r' = 0$

Bước 6.2

Giải phương trình để tìm $r'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Trừ $h r π$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 π r^{2} r' + π h^{2} r' = - h r π$

Bước 6.2.2

Đưa $π r'$ ra ngoài $2 π r^{2} r' + π h^{2} r'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Đưa $π r'$ ra ngoài $2 π r^{2} r'$ .

$π r' (2 r^{2}) + π h^{2} r' = - h r π$

Bước 6.2.2.2

Đưa $π r'$ ra ngoài $π h^{2} r'$ .

$π r' (2 r^{2}) + π r' h^{2} = - h r π$

Bước 6.2.2.3

Đưa $π r'$ ra ngoài $π r' (2 r^{2}) + π r' h^{2}$ .

$π r' (2 r^{2} + h^{2}) = - h r π$

Bước 6.2.3

Chia mỗi số hạng trong $π r' (2 r^{2} + h^{2}) = - h r π$ cho $π (2 r^{2} + h^{2})$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Chia mỗi số hạng trong $π r' (2 r^{2} + h^{2}) = - h r π$ cho $π (2 r^{2} + h^{2})$ .

$\frac{π r' (2 r^{2} + h^{2})}{π (2 r^{2} + h^{2})} = \frac{- h r π}{π (2 r^{2} + h^{2})}$

Bước 6.2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{π r' (2 r^{2} + h^{2})}{π (2 r^{2} + h^{2})} = \frac{- h r π}{π (2 r^{2} + h^{2})}$

Bước 6.2.3.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{r' (2 r^{2} + h^{2})}{2 r^{2} + h^{2}} = \frac{- h r π}{π (2 r^{2} + h^{2})}$

Bước 6.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2 r^{2} + h^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{r' (2 r^{2} + h^{2})}{2 r^{2} + h^{2}} = \frac{- h r π}{π (2 r^{2} + h^{2})}$

Bước 6.2.3.2.2.2

Chia $r'$ cho $1$ .

$r' = \frac{- h r π}{π (2 r^{2} + h^{2})}$

Bước 6.2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$r' = \frac{- h r π}{π (2 r^{2} + h^{2})}$

Bước 6.2.3.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$r' = \frac{- h r}{2 r^{2} + h^{2}}$

Bước 6.2.3.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$r' = - \frac{h r}{2 r^{2} + h^{2}}$

Bước 7

Thay thế $r'$ bằng $\frac{d r}{d h}$ .

$\frac{d r}{d h} = - \frac{h r}{2 r^{2} + h^{2}}$