Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (x)}{\cot (x)}$

Bước 1

Lập giới hạn ở dạng giới hạn trái.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\ln (x)}{\cot (x)}$

Bước 2

Tính các giới hạn bằng cách điền vào giá trị cho biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính giới hạn của $\frac{\ln (x)}{\cot (x)}$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{\ln (0)}{\cot (0)}$

Bước 2.2

Viết lại $\cot (0)$ theo sin và cosin.

$\frac{\ln (0)}{\frac{\cos (0)}{\sin (0)}}$

Bước 2.3

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{\ln (0)}{\frac{\cos (0)}{0}}$

Bước 2.4

Vì $\frac{\ln (0)}{\frac{\cos (0)}{0}}$ không xác định, nên giới hạn không tồn tại.

$Không tồn tại$

Bước 3

Lập giới hạn ở dạng giới hạn phải.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\cot (x)}$

Bước 4

Tính giới hạn phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x)}$

Bước 4.1.1.2

Vì $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải, nên $\ln (x)$ giảm không giới hạn.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x)}$

Bước 4.1.1.3

Khi giá trị $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải, giá trị hàm số tăng mà không bị giới hạn.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Bước 4.1.1.4

Vô cùng chia cho vô cùng là không xác định.

Không xác định

$\frac{- \infty}{\infty}$

Bước 4.1.2

Vì $\frac{- \infty}{\infty}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\cot (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Bước 4.1.3.2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Bước 4.1.3.3

Đạo hàm của $\cot (x)$ đối với $x$ là $- \csc^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \csc^{2} (x)}$

Bước 4.1.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{- \csc^{2} (x)}$

Bước 4.1.5

Nhân $\frac{1}{x}$ với $\frac{1}{- \csc^{2} (x)}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x (- \csc^{2} (x))}$

Bước 4.1.6

Triệt tiêu thừa số chung của $1$ và $- 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.1

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1 (- 1)}{x (- \csc^{2} (x))}$

Bước 4.1.6.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{1}{x (\csc^{2} (x))}$

Bước 4.2

Chuyển số hạng $- 1$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x (\csc^{2} (x))}$

Bước 4.3

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x (\csc^{2} (x))}$ tiến dần đến $0$ .

$- 0$

Bước 4.4

Nhân $- 1$ với $0$ .

$0$

Bước 5

Nếu một trong các giới hạn một bên không tồn tại, thì giới hạn không tồn tại.

$Không tồn tại$