Giải tích Ví dụ

$y = (6 x - 5) \sqrt{8 x - 3}$ ; $x = 1$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{8 x - 3}$ ở dạng ${(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [(6 x - 5) {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = 6 x - 5$ và $g (x) = {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$(6 x - 5) \frac{d}{d x} [{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}] + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = 8 x - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $8 x - 3$ .

$(6 x - 5) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [8 x - 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$(6 x - 5) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 x - 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $8 x - 3$ .

$(6 x - 5) (\frac{1}{2} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 x - 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Bước 4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$(6 x - 5) (\frac{1}{2} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Bước 5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$(6 x - 5) (\frac{1}{2} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Bước 6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$(6 x - 5) (\frac{1}{2} {(8 x - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Bước 7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$(6 x - 5) (\frac{1}{2} {(8 x - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Bước 7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$(6 x - 5) (\frac{1}{2} {(8 x - 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Bước 8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$(6 x - 5) (\frac{1}{2} {(8 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Bước 8.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(8 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$(6 x - 5) (\frac{{(8 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [8 x - 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Bước 8.3

Di chuyển ${(8 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(6 x - 5) (\frac{1}{2 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x - 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Bước 9

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $8 x - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$(6 x - 5) \frac{1}{2 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Bước 10

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 x$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(6 x - 5) \frac{1}{2 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Bước 11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$(6 x - 5) \frac{1}{2 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Bước 12

Nhân $8$ với $1$ .

$(6 x - 5) \frac{1}{2 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (8 + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Bước 13

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$(6 x - 5) \frac{1}{2 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (8 + 0) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Bước 14

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Cộng $8$ và $0$ .

$(6 x - 5) \frac{1}{2 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 8 + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Bước 14.2

Kết hợp $8$ và $\frac{1}{2 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$(6 x - 5) \frac{8}{2 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Bước 14.3

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$(6 x - 5) \frac{2 \cdot 4}{2 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Bước 15

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$(6 x - 5) \frac{2 \cdot 4}{2 ({(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}})} + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Bước 15.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$(6 x - 5) \frac{2 \cdot 4}{2 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Bước 15.3

Viết lại biểu thức.

$(6 x - 5) \frac{4}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Bước 16

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $6 x - 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$(6 x - 5) \frac{4}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Bước 17

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(6 x - 5) \frac{4}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Bước 18

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$(6 x - 5) \frac{4}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Bước 19

Nhân $6$ với $1$ .

$(6 x - 5) \frac{4}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} (6 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Bước 20

Vì $- 5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 5$ đối với $x$ là $0$ .

$(6 x - 5) \frac{4}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} (6 + 0)$

Bước 21

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.1

Cộng $6$ và $0$ .

$(6 x - 5) \frac{4}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 6$

Bước 21.2

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của ${(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$(6 x - 5) \frac{4}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + 6 \cdot {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$

Bước 22

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1.1

Nhân $6 x - 5$ với $\frac{4}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(6 x - 5) \cdot 4}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + 6 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$

Bước 22.1.2

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $6 x - 5$ .

$\frac{4 (6 x - 5)}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + 6 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$

Bước 22.2

Để viết $6 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 (6 x - 5)}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{6 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 22.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{4 (6 x - 5) + 6 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 22.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 (6 x - 5) + 6 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.4.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 (6 x - 5)$ .

$\frac{2 (2 (6 x - 5)) + 6 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 22.4.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $6 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (2 (6 x - 5)) + 2 (3 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 22.4.1.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (2 (6 x - 5)) + 2 (3 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 (2 (6 x - 5) + 3 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 22.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 (2 (6 x) + 2 \cdot - 5 + 3 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 22.4.3

Nhân $6$ với $2$ .

$\frac{2 (12 x + 2 \cdot - 5 + 3 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 22.4.4

Nhân $2$ với $- 5$ .

$\frac{2 (12 x - 10 + 3 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 22.4.5

Nhân ${(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ với ${(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.4.5.1

Di chuyển ${(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (12 x - 10 + 3 ({(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}))}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 22.4.5.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 (12 x - 10 + 3 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}})}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 22.4.5.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 (12 x - 10 + 3 {(8 x - 3)}^{\frac{1 + 1}{2}})}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 22.4.5.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{2 (12 x - 10 + 3 {(8 x - 3)}^{\frac{2}{2}})}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 22.4.5.5

Chia $2$ cho $2$ .

$\frac{2 (12 x - 10 + 3 {(8 x - 3)}^{1})}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 22.4.6

Rút gọn $3 {(8 x - 3)}^{1}$ .

$\frac{2 (12 x - 10 + 3 (8 x - 3))}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 22.4.7

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 (12 x - 10 + 3 (8 x) + 3 \cdot - 3)}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 22.4.8

Nhân $8$ với $3$ .

$\frac{2 (12 x - 10 + 24 x + 3 \cdot - 3)}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 22.4.9

Nhân $3$ với $- 3$ .

$\frac{2 (12 x - 10 + 24 x - 9)}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 22.4.10

Cộng $12 x$ và $24 x$ .

$\frac{2 (36 x - 10 - 9)}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 22.4.11

Trừ $9$ khỏi $- 10$ .

$\frac{2 (36 x - 19)}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 23

Tính đạo hàm tại $x = 1$ .

$\frac{2 (36 (1) - 19)}{{(8 (1) - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 24

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.1.1

Nhân $36$ với $1$ .

$\frac{2 (36 - 19)}{{(8 (1) - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 24.1.2

Trừ $19$ khỏi $36$ .

$\frac{2 \cdot 17}{{(8 (1) - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 24.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.2.1

Nhân $8$ với $1$ .

$\frac{2 \cdot 17}{{(8 - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 24.2.2

Trừ $3$ khỏi $8$ .

$\frac{2 \cdot 17}{5^{\frac{1}{2}}}$

Bước 24.3

Nhân $2$ với $17$ .

$\frac{34}{5^{\frac{1}{2}}}$