Giải tích Ví dụ

$\frac{π h^{2} (3 r - h)}{3}$

Bước 1

Vì $\frac{π}{3}$ không đổi đối với $h$ , nên đạo hàm của $\frac{π h^{2} (3 r - h)}{3}$ đối với $h$ là $\frac{π}{3} \frac{d}{d h} [h^{2} (3 r - h)]$ .

$\frac{π}{3} \frac{d}{d h} [h^{2} (3 r - h)]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ là $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ trong đó $f (h) = h^{2}$ và $g (h) = 3 r - h$ .

$\frac{π}{3} (h^{2} \frac{d}{d h} [3 r - h] + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 r - h$ đối với $h$ là $\frac{d}{d h} [3 r] + \frac{d}{d h} [- h]$ .

$\frac{π}{3} (h^{2} (\frac{d}{d h} [3 r] + \frac{d}{d h} [- h]) + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

Bước 3.2

Vì $3 r$ là hằng số đối với $h$ , đạo hàm của $3 r$ đối với $h$ là $0$ .

$\frac{π}{3} (h^{2} (0 + \frac{d}{d h} [- h]) + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

Bước 3.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d h} [- h]$ .

$\frac{π}{3} (h^{2} \frac{d}{d h} [- h] + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

Bước 3.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $h$ , nên đạo hàm của $- h$ đối với $h$ là $- \frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{π}{3} (h^{2} (- \frac{d}{d h} [h]) + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ là $n h^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{π}{3} (h^{2} (- 1 \cdot 1) + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

Bước 3.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{π}{3} (h^{2} \cdot - 1 + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

Bước 3.6.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $h^{2}$ .

$\frac{π}{3} (- 1 \cdot h^{2} + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

Bước 3.6.3

Viết lại $- 1 h^{2}$ ở dạng $- h^{2}$ .

$\frac{π}{3} (- h^{2} + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

Bước 3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ là $n h^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{π}{3} (- h^{2} + (3 r - h) (2 h))$

Bước 3.8

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $3 r - h$ .

$\frac{π}{3} (- h^{2} + 2 \cdot (3 r - h) h)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{π}{3} (- h^{2} + (2 (3 r) + 2 (- h)) h)$

Bước 4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{π}{3} (- h^{2} + 2 (3 r) h + 2 (- h) h)$

Bước 4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{π}{3} (- h^{2}) + \frac{π}{3} (2 (3 r) h) + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Bước 4.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Kết hợp $\frac{π}{3}$ và $h^{2}$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{π}{3} (2 (3 r) h) + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Bước 4.4.2

Nhân $3$ với $2$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{π}{3} (6 r h) + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Bước 4.4.3

Kết hợp $6$ và $\frac{π}{3}$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{6 π}{3} (r h) + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Bước 4.4.4

Kết hợp $r$ và $\frac{6 π}{3}$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{r (6 π)}{3} h + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Bước 4.4.5

Kết hợp $\frac{r (6 π)}{3}$ và $h$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{r (6 π) h}{3} + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Bước 4.4.6

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $r$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{6 \cdot r π h}{3} + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Bước 4.4.7

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.7.1

Đưa $3$ ra ngoài $6 r π h$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{3 (2 r π h)}{3} + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Bước 4.4.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.7.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{3 (2 r π h)}{3 (1)} + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Bước 4.4.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{3 (2 r π h)}{3 \cdot 1} + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Bước 4.4.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{2 r π h}{1} + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Bước 4.4.7.2.4

Chia $2 r π h$ cho $1$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Bước 4.4.8

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h + \frac{π}{3} (- 2 h \cdot h)$

Bước 4.4.9

Nâng $h$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h + \frac{π}{3} (- 2 (h^{1} h))$

Bước 4.4.10

Nâng $h$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h + \frac{π}{3} (- 2 (h^{1} h^{1}))$

Bước 4.4.11

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h + \frac{π}{3} (- 2 h^{1 + 1})$

Bước 4.4.12

Cộng $1$ và $1$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h + \frac{π}{3} (- 2 h^{2})$

Bước 4.4.13

Kết hợp $- 2$ và $\frac{π}{3}$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h + \frac{- 2 π}{3} h^{2}$

Bước 4.4.14

Kết hợp $\frac{- 2 π}{3}$ và $h^{2}$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h + \frac{- 2 π h^{2}}{3}$

Bước 4.4.15

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h - \frac{2 π h^{2}}{3}$

Bước 4.4.16

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 r π h + \frac{- π h^{2} - 2 π h^{2}}{3}$

Bước 4.4.17

Trừ $2 π h^{2}$ khỏi $- π h^{2}$ .

$2 r π h + \frac{- 3 π h^{2}}{3}$

Bước 4.4.18

Triệt tiêu thừa số chung của $- 3$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.18.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 3 π h^{2}$ .

$2 r π h + \frac{3 (- π h^{2})}{3}$

Bước 4.4.18.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.18.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$2 r π h + \frac{3 (- π h^{2})}{3 (1)}$

Bước 4.4.18.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 r π h + \frac{3 (- π h^{2})}{3 \cdot 1}$

Bước 4.4.18.2.3

Viết lại biểu thức.

$2 r π h + \frac{- π h^{2}}{1}$

Bước 4.4.18.2.4

Chia $- π h^{2}$ cho $1$ .

$2 r π h - π h^{2}$

Bước 4.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 π h r - π h^{2}$