Giải tích Ví dụ

$f (x) = - 2 x e^{- x^{2} + 1}$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int - 2 x e^{- x^{2} + 1} d x$

Bước 3

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$- 2 \int x e^{- x^{2} + 1} d x$

Bước 4

Giả sử $u = - x^{2} + 1$ . Sau đó $d u = - 2 x d x$ , nên $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = - x^{2} + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $- x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2} + 1]$

Bước 4.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 4.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 4.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 4.1.3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 4.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.1

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$- 2 x + 0$

Bước 4.1.4.2

Cộng $- 2 x$ và $0$ .

$- 2 x$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$- 2 \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- 2 \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Bước 5.2

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{2}$ .

$- 2 \int - \frac{e^{u}}{2} d u$

Bước 6

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- 2 (- \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Bước 7

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$2 \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Bước 8

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{2}{2} \int e^{u} d u$

Bước 9.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{2} \int e^{u} d u$

Bước 9.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 \int e^{u} d u$

Bước 9.3

Nhân $\int e^{u} d u$ với $1$ .

$\int e^{u} d u$

Bước 10

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$e^{u} + C$

Bước 11

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- x^{2} + 1$ .

$e^{- x^{2} + 1} + C$

Bước 12

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = - 2 x e^{- x^{2} + 1}$ .

$F (x) =$ $e^{- x^{2} + 1} + C$