Giải tích Ví dụ

$f (x) = x^{3} + 5 x^{2}$ , $[0, 3]$

Bước 1

Nếu $f$ liên tục trên khoảng $[a, b]$ và khả vi trên $(a, b)$ , thì ít nhất một số thực $c$ tồn tại trong khoảng $(a, b)$ sao cho $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Định lý giá trị trung bình biểu thị mối liên hệ giữa hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong tại $x = c$ và hệ số góc của đường thẳng đi qua các điểm $(a, f (a))$ và $(b, f (b))$ .

Nếu $f (x)$ liên tục trên $[a, b]$

và nếu $f (x)$ khả vi trên $(a, b)$ ,

thì tồn tại ít nhất một điểm, $c$ trong $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Bước 2

Kiểm tra xem $f (x) = x^{3} + 5 x^{2}$ có liên tục không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 2.2

$f (x)$ liên tục trên $[0, 3]$ .

Hàm số liên tục.

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} + 5 x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (5 x^{2})$

Bước 3.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (5 x^{2})$

Bước 3.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x^{2}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 5 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Bước 3.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 5 (2 x)$

Bước 3.1.2.3

Nhân $2$ với $5$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 10 x$

Bước 3.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $3 x^{2} + 10 x$ .

$3 x^{2} + 10 x$

Bước 4

Tìm nếu đạo hàm liên tục trên $(0, 3)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 4.2

$f' (x)$ liên tục trên $(0, 3)$ .

Hàm số liên tục.

Bước 5

Hàm số khả vi trên $(0, 3)$ vì đạo hàm liên tục trên $(0, 3)$ .

Hàm số này khả vi.

Bước 6

$f (x)$ thỏa hai điều kiện của định lý giá trị trung bình. Nó liên tục trên $[0, 3]$ và khả vi trên $(0, 3)$ .

$f (x)$ liên tục trên $[0, 3]$ và khả vi trên $(0, 3)$ .

Bước 7

Tính $f (a)$ từ khoảng $[0, 3]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f (0) = {(0)}^{3} + 5 {(0)}^{2}$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f (0) = 0 + 5 {(0)}^{2}$

Bước 7.2.1.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f (0) = 0 + 5 \cdot 0$

Bước 7.2.1.3

Nhân $5$ với $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Bước 7.2.2

Cộng $0$ và $0$ .

$f (0) = 0$

Bước 7.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $0$ .

$0$

Bước 8

Tính $f (b)$ từ khoảng $[0, 3]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Thay thế biến $x$ bằng $3$ trong biểu thức.

$f (3) = {(3)}^{3} + 5 {(3)}^{2}$

Bước 8.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$f (3) = 27 + 5 {(3)}^{2}$

Bước 8.2.1.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$f (3) = 27 + 5 \cdot 9$

Bước 8.2.1.3

Nhân $5$ với $9$ .

$f (3) = 27 + 45$

Bước 8.2.2

Cộng $27$ và $45$ .

$f (3) = 72$

Bước 8.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $72$ .

$72$

Bước 9

Giải $3 x^{2} + 10 x = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ để tìm $x$ . $3 x^{2} + 10 x = \frac{- (f (3) + f (0))}{- (3 + 0)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn $\frac{(72) - (0)}{(3) - (0)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$3 x^{2} + 10 x = \frac{72 + 0}{3 - (0)}$

Bước 9.1.1.2

Cộng $72$ và $0$ .

$3 x^{2} + 10 x = \frac{72}{3 - (0)}$

Bước 9.1.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$3 x^{2} + 10 x = \frac{72}{3 + 0}$

Bước 9.1.2.2

Cộng $3$ và $0$ .

$3 x^{2} + 10 x = \frac{72}{3}$

Bước 9.1.3

Chia $72$ cho $3$ .

$3 x^{2} + 10 x = 24$

Bước 9.2

Trừ $24$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$3 x^{2} + 10 x - 24 = 0$

Bước 9.3

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 9.4

Thay các giá trị $a = 3$ , $b = 10$ , và $c = - 24$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 24)}}{2 \cdot 3}$

Bước 9.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.5.1.1

Nâng $10$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

Bước 9.5.1.2

Nhân $- 4 \cdot 3 \cdot - 24$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.5.1.2.1

Nhân $- 4$ với $3$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 12 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

Bước 9.5.1.2.2

Nhân $- 12$ với $- 24$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 288}}{2 \cdot 3}$

Bước 9.5.1.3

Cộng $100$ và $288$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{388}}{2 \cdot 3}$

Bước 9.5.1.4

Viết lại $388$ ở dạng $2^{2} \cdot 97$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.5.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $388$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (97)}}{2 \cdot 3}$

Bước 9.5.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 97}}{2 \cdot 3}$

Bước 9.5.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{2 \cdot 3}$

Bước 9.5.2

Nhân $2$ với $3$ .

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$

Bước 9.5.3

Rút gọn $\frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{97}}{3}$

Bước 9.6

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.6.1.1

Nâng $10$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

Bước 9.6.1.2

Nhân $- 4 \cdot 3 \cdot - 24$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.6.1.2.1

Nhân $- 4$ với $3$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 12 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

Bước 9.6.1.2.2

Nhân $- 12$ với $- 24$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 288}}{2 \cdot 3}$

Bước 9.6.1.3

Cộng $100$ và $288$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{388}}{2 \cdot 3}$

Bước 9.6.1.4

Viết lại $388$ ở dạng $2^{2} \cdot 97$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.6.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $388$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (97)}}{2 \cdot 3}$

Bước 9.6.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 97}}{2 \cdot 3}$

Bước 9.6.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{2 \cdot 3}$

Bước 9.6.2

Nhân $2$ với $3$ .

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$

Bước 9.6.3

Rút gọn $\frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{97}}{3}$

Bước 9.6.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$x = \frac{- 5 + \sqrt{97}}{3}$

Bước 9.6.5

Viết lại $- 5$ ở dạng $- 1 (5)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 + \sqrt{97}}{3}$

Bước 9.6.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $\sqrt{97}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - 1 (- \sqrt{97})}{3}$

Bước 9.6.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (5) - 1 (- \sqrt{97})$ .

$x = \frac{- 1 (5 - \sqrt{97})}{3}$

Bước 9.6.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{5 - \sqrt{97}}{3}$

Bước 9.7

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.7.1.1

Nâng $10$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

Bước 9.7.1.2

Nhân $- 4 \cdot 3 \cdot - 24$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.7.1.2.1

Nhân $- 4$ với $3$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 12 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

Bước 9.7.1.2.2

Nhân $- 12$ với $- 24$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 288}}{2 \cdot 3}$

Bước 9.7.1.3

Cộng $100$ và $288$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{388}}{2 \cdot 3}$

Bước 9.7.1.4

Viết lại $388$ ở dạng $2^{2} \cdot 97$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.7.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $388$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (97)}}{2 \cdot 3}$

Bước 9.7.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 97}}{2 \cdot 3}$

Bước 9.7.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{2 \cdot 3}$

Bước 9.7.2

Nhân $2$ với $3$ .

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$

Bước 9.7.3

Rút gọn $\frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{97}}{3}$

Bước 9.7.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$x = \frac{- 5 - \sqrt{97}}{3}$

Bước 9.7.5

Viết lại $- 5$ ở dạng $- 1 (5)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - \sqrt{97}}{3}$

Bước 9.7.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \sqrt{97}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (\sqrt{97})}{3}$

Bước 9.7.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (5) - (\sqrt{97})$ .

$x = \frac{- 1 (5 + \sqrt{97})}{3}$

Bước 9.7.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{5 + \sqrt{97}}{3}$

Bước 9.8

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = - \frac{5 - \sqrt{97}}{3}, - \frac{5 + \sqrt{97}}{3}$

Bước 10

Tìm được một đường tiếp tuyến tại $x = - \frac{5 - \sqrt{97}}{3}$ song song với đường thẳng đi qua các điểm cuối $a = 0$ và $b = 3$ .

Có một đường tiếp tuyến tại $x = - \frac{5 - \sqrt{97}}{3}$ song song với đường thẳng đi qua các điểm cuối $a = 0$ và $b = 3$

Bước 11

Tìm được một đường tiếp tuyến tại $x = - \frac{5 + \sqrt{97}}{3}$ song song với đường thẳng đi qua các điểm cuối $a = 0$ và $b = 3$ .

Có một đường tiếp tuyến tại $x = - \frac{5 + \sqrt{97}}{3}$ song song với đường thẳng đi qua các điểm cuối $a = 0$ và $b = 3$

Bước 12