Giải tích Ví dụ

$f (x) = x (x - 1)$ ; $[2, 5]$

Bước 1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 2

$f (x)$ liên tục trên $[2, 5]$ .

$f (x)$ là liên tục

Bước 3

Giá trị trung bình của hàm số $f$ trong khoảng $[a, b]$ được định nghĩa là $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Bước 4

Thay các giá trị thực tế vào công thức cho giá trị trung bình của một hàm số.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{2}^{5} x (x - 1) d x)$

Bước 5

Nhân $x (x - 1)$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{2}^{5} x \cdot x + x \cdot - 1 d x)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{2}^{5} x^{1 + 1} + x \cdot - 1 d x)$

Bước 6.2

Cộng $1$ và $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{2}^{5} x^{2} + x \cdot - 1 d x)$

Bước 6.3

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{2}^{5} x^{2} - 1 \cdot x d x)$

Bước 6.4

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{2}^{5} x^{2} - x d x)$

Bước 7

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{2}^{5} x^{2} d x + \int_{2}^{5} - x d x)$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{5} + \int_{2}^{5} - x d x)$

Bước 9

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{5} - \int_{2}^{5} x d x)$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{5} - (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{5}))$

Bước 11

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{5} - (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{5}))$

Bước 11.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Tính $\frac{1}{3} x^{3}$ tại $5$ và tại $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} ((\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{5}))$

Bước 11.2.2

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $5$ và tại $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{3} \cdot 5^{3} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Bước 11.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.3.1

Nâng $5$ lên lũy thừa $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{3} \cdot 125 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Bước 11.2.3.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $125$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Bước 11.2.3.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 8 - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Bước 11.2.3.4

Nhân $8$ với $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125}{3} - 8 (\frac{1}{3}) - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Bước 11.2.3.5

Kết hợp $- 8$ và $\frac{1}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125}{3} + \frac{- 8}{3} - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Bước 11.2.3.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125}{3} - \frac{8}{3} - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Bước 11.2.3.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125 - 8}{3} - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Bước 11.2.3.8

Trừ $8$ khỏi $125$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{117}{3} - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Bước 11.2.3.9

Triệt tiêu thừa số chung của $117$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.3.9.1

Đưa $3$ ra ngoài $117$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{3 \cdot 39}{3} - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Bước 11.2.3.9.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.3.9.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{3 \cdot 39}{3 (1)} - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Bước 11.2.3.9.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{3 \cdot 39}{3 \cdot 1} - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Bước 11.2.3.9.2.3

Viết lại biểu thức.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{39}{1} - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Bước 11.2.3.9.2.4

Chia $39$ cho $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Bước 11.2.3.10

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - (\frac{25}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Bước 11.2.3.11

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - (\frac{25}{2} - \frac{4}{2}))$

Bước 11.2.3.12

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.3.12.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2}))$

Bước 11.2.3.12.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.3.12.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}))$

Bước 11.2.3.12.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}))$

Bước 11.2.3.12.2.3

Viết lại biểu thức.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - (\frac{25}{2} - \frac{2}{1}))$

Bước 11.2.3.12.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - (\frac{25}{2} - 1 \cdot 2))$

Bước 11.2.3.13

Nhân $- 1$ với $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - (\frac{25}{2} - 2))$

Bước 11.2.3.14

Để viết $- 2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - (\frac{25}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}))$

Bước 11.2.3.15

Kết hợp $- 2$ và $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - (\frac{25}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}))$

Bước 11.2.3.16

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - \frac{25 - 2 \cdot 2}{2})$

Bước 11.2.3.17

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.3.17.1

Nhân $- 2$ với $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - \frac{25 - 4}{2})$

Bước 11.2.3.17.2

Trừ $4$ khỏi $25$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - \frac{21}{2})$

Bước 11.2.3.18

Để viết $39$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 \cdot \frac{2}{2} - \frac{21}{2})$

Bước 11.2.3.19

Kết hợp $39$ và $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{39 \cdot 2}{2} - \frac{21}{2})$

Bước 11.2.3.20

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{39 \cdot 2 - 21}{2})$

Bước 11.2.3.21

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.3.21.1

Nhân $39$ với $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{78 - 21}{2})$

Bước 11.2.3.21.2

Trừ $21$ khỏi $78$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{57}{2})$

Bước 12

Trừ $2$ khỏi $5$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{57}{2}$

Bước 13

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Đưa $3$ ra ngoài $57$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 (19)}{2}$

Bước 13.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 19}{2}$

Bước 13.3

Viết lại biểu thức.

$A (x) = \frac{19}{2}$

Bước 14