Giải tích Ví dụ

$f (x) = - \cos (x)$ ; $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$

Bước 1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 2

$f (x)$ liên tục trên $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ .

$f (x)$ là liên tục

Bước 3

Giá trị trung bình của hàm số $f$ trong khoảng $[a, b]$ được định nghĩa là $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Bước 4

Thay các giá trị thực tế vào công thức cho giá trị trung bình của một hàm số.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} - \cos (x) d x)$

Bước 5

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x)$

Bước 6

Tích phân của $\cos (x)$ đối với $x$ là $\sin (x)$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (\sin (x)]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}))$

Bước 7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tính $\sin (x)$ tại $\frac{π}{2}$ và tại $- \frac{π}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})))$

Bước 7.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 - \sin (- \frac{π}{2})))$

Bước 7.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Cộng vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 - \sin (\frac{3 π}{2})))$

Bước 7.3.2

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì sin âm trong góc phần tư thứ tư.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 + \sin (\frac{π}{2})))$

Bước 7.3.3

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 - (- 1 \cdot 1)))$

Bước 7.3.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 + 1))$

Bước 7.3.5

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 + 1))$

Bước 7.3.6

Cộng $1$ và $1$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- 1 \cdot 2)$

Bước 7.3.7

Nhân $- 1$ với $2$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- 2)$

Bước 8

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π + π}{2}} \cdot - 2$

Bước 8.2

Viết lại $\frac{π + π}{2}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Cộng $π$ và $π$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{2 π}{2}} \cdot - 2$

Bước 8.2.2

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Rút gọn biểu thức $\frac{2 π}{2}$ bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{\frac{2 π}{2}} \cdot - 2$

Bước 8.2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{1}} \cdot - 2$

Bước 8.2.2.2

Chia $π$ cho $1$ .

$A (x) = \frac{1}{π} \cdot - 2$

Bước 9

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Kết hợp $\frac{1}{π}$ và $- 2$ .

$A (x) = \frac{- 2}{π}$

Bước 9.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$A (x) = - \frac{2}{π}$

Bước 10