Giải tích Ví dụ

$\sqrt{x^{2} + 2} - x$

Bước 1

Viết $\sqrt{x^{2} + 2} - x$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 2} - x$

Bước 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sqrt{x^{2} + 2} - x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\sqrt{x^{2} + 2}) + \frac{d}{d x} (- x)$

Bước 2.1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x^{2} + 2}$ ở dạng ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- x)$

Bước 2.1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = x^{2} + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} + 2$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 2) + \frac{d}{d x} (- x)$

Bước 2.1.1.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2) + \frac{d}{d x} (- x)$

Bước 2.1.1.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2) + \frac{d}{d x} (- x)$

Bước 2.1.1.2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2))) + \frac{d}{d x} (- x)$

Bước 2.1.1.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} (2))) + \frac{d}{d x} (- x)$

Bước 2.1.1.2.5

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 0)) + \frac{d}{d x} (- x)$

Bước 2.1.1.2.6

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 0)) + \frac{d}{d x} (- x)$

Bước 2.1.1.2.7

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0)) + \frac{d}{d x} (- x)$

Bước 2.1.1.2.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0)) + \frac{d}{d x} (- x)$

Bước 2.1.1.2.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.2.9.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 0)) + \frac{d}{d x} (- x)$

Bước 2.1.1.2.9.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 0)) + \frac{d}{d x} (- x)$

Bước 2.1.1.2.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 0)) + \frac{d}{d x} (- x)$

Bước 2.1.1.2.11

Cộng $2 x$ và $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- x)$

Bước 2.1.1.2.12

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot (2 x) + \frac{d}{d x} (- x)$

Bước 2.1.1.2.13

Kết hợp $2$ và $\frac{{(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot x + \frac{d}{d x} (- x)$

Bước 2.1.1.2.14

Kết hợp $\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ và $x$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}} x}{2} + \frac{d}{d x} (- x)$

Bước 2.1.1.2.15

Di chuyển ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- x)$

Bước 2.1.1.2.16

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (x) = \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- x)$

Bước 2.1.1.2.17

Viết lại biểu thức.

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- x)$

Bước 2.1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} x$

Bước 2.1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1$

Bước 2.1.1.3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} - 1$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.1.2.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.1.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.1.2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = x^{2} + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} + 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.1.2.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.1.2.2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.1.2.2.4

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2))))}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.1.2.2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} (2))))}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.1.2.2.6

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 0)))}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.1.2.2.7

Nhân ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 0)))}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.1.2.2.8

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 0)))}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.1.2.2.9

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0)))}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.1.2.2.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0)))}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.1.2.2.11

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.2.11.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 0)))}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.1.2.2.11.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 0)))}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.1.2.2.12

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 0)))}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.1.2.2.13

Cộng $2 x$ và $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}} (2 x)))}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.1.2.2.14

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot (2 x))}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.1.2.2.15

Kết hợp $2$ và $\frac{{(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot x)}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.1.2.2.16

Kết hợp $\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ và $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{2 {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}} x}{2}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.1.2.2.17

Di chuyển ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.1.2.2.18

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.1.2.2.19

Viết lại biểu thức.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.1.2.2.20

Kết hợp $\frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ và $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x \cdot x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.1.2.2.21

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x \cdot x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.1.2.2.22

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x \cdot x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.1.2.2.23

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.1.2.2.24

Cộng $1$ và $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.1.2.2.25

Để viết ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.1.2.2.26

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.1.2.2.27

Nhân ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ với ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.2.27.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.1.2.2.27.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.1.2.2.27.3

Cộng $1$ và $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.1.2.2.27.4

Chia $2$ cho $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{(x^{2} + 2) - x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.1.2.2.28

Rút gọn ${(x^{2} + 2)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 2 - x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.1.2.2.29

Trừ $x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{0 + 2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.1.2.2.30

Cộng $0$ và $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.1.2.2.31

Nhân các số mũ trong ${({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.2.31.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.1.2.2.31.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.2.31.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (x) = \frac{\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.1.2.2.31.2.2

Viết lại biểu thức.

$f'' (x) = \frac{\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.1.2.2.32

Rút gọn.

$f'' (x) = \frac{\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.1.2.2.33

Viết lại $\frac{\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2}$ ở dạng một tích.

$f'' (x) = \frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 2} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.1.2.2.34

Nhân $\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ với $\frac{1}{x^{2} + 2}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 2)} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.1.2.2.35

Nhân ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ với $x^{2} + 2$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.2.35.1

Nhân ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ với $x^{2} + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.2.35.1.1

Nâng $x^{2} + 2$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 2)} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.1.2.2.35.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = \frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + 1}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.1.2.2.35.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$f'' (x) = \frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.1.2.2.35.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = \frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1 + 2}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.1.2.2.35.4

Cộng $1$ và $2$ .

$f'' (x) = \frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.1.2.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.3.1

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = \frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} + 0$

Bước 2.1.2.3.2

Cộng $\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ và $0$ .

$f'' (x) = \frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 2.1.3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 2.2

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Bước 2.2.2

Cho tử bằng không.

$2 = 0$

Bước 2.2.3

Vì $2 \neq 0$ , nên không có đáp án.

Không có đáp án

Bước 3

Tìm tập xác định của $f (x) = \sqrt{x^{2} + 2} - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{x^{2} + 2}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$x^{2} + 2 \geq 0$

Bước 3.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$x^{2} \geq - 2$

Bước 3.2.2

Vì vế trái có số mũ chẵn, nó luôn dương cho tất cả các số thực.

Tất cả các số thực

Bước 3.3

Tập xác định là tất cả các số thực.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 4

Đồ thị lõm vì đạo hàm bậc hai dương.

Đồ thị có dạng lõm

Bước 5