Giải tích Ví dụ

$f (x) = 1 + \frac{1}{x} + \frac{7}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$

Bước 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + \frac{1}{x} + \frac{7}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (\frac{7}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Bước 1.1.1.1.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (\frac{7}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Bước 1.1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.1

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (x^{- 1}) + \frac{d}{d x} (\frac{7}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Bước 1.1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + \frac{d}{d x} (\frac{7}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Bước 1.1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.1

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{7}{x^{2}}$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Bước 1.1.1.3.2

Viết lại $\frac{1}{x^{2}}$ ở dạng ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Bước 1.1.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x^{2}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Bước 1.1.1.3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Bước 1.1.1.3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{2}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Bước 1.1.1.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Bước 1.1.1.3.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Bước 1.1.1.3.5.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Bước 1.1.1.3.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Bước 1.1.1.3.7

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Bước 1.1.1.3.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Bước 1.1.1.3.9

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Bước 1.1.1.3.10

Nhân $- 2$ với $7$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Bước 1.1.1.4

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.4.1

Viết lại $\frac{1}{x^{3}}$ ở dạng ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ({(x^{3})}^{- 1})$

Bước 1.1.1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.4.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x^{3}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} + \frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3})$

Bước 1.1.1.4.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}$

Bước 1.1.1.4.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x^{3}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}$

Bước 1.1.1.4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})$

Bước 1.1.1.4.4

Nhân các số mũ trong ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.4.4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})$

Bước 1.1.1.4.4.2

Nhân $3$ với $- 2$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - x^{- 6} (3 x^{2})$

Bước 1.1.1.4.5

Nhân $3$ với $- 1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - 3 x^{- 6} x^{2}$

Bước 1.1.1.4.6

Nhân $x^{- 6}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.4.6.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - 3 (x^{2} x^{- 6})$

Bước 1.1.1.4.6.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - 3 x^{2 - 6}$

Bước 1.1.1.4.6.3

Trừ $6$ khỏi $2$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - 3 x^{- 4}$

Bước 1.1.1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.5.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - \frac{1}{x^{2}} - 14 x^{- 3} - 3 x^{- 4}$

Bước 1.1.1.5.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - \frac{1}{x^{2}} - 14 \frac{1}{x^{3}} - 3 x^{- 4}$

Bước 1.1.1.5.3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - \frac{1}{x^{2}} - 14 \frac{1}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}$

Bước 1.1.1.5.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.5.4.1

Trừ $\frac{1}{x^{2}}$ khỏi $0$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} - 14 \frac{1}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}$

Bước 1.1.1.5.4.2

Kết hợp $- 14$ và $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{- 14}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}$

Bước 1.1.1.5.4.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} - \frac{14}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}$

Bước 1.1.1.5.4.4

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} - \frac{14}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{4}}$

Bước 1.1.1.5.4.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} - \frac{14}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}}$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{14}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{14}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Bước 1.1.2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = - 1$ và $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Bước 1.1.2.2.2

Viết lại $\frac{1}{x^{2}}$ ở dạng ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Bước 1.1.2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x^{2}$ .

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Bước 1.1.2.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$f'' (x) = - (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Bước 1.1.2.2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{2}$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Bước 1.1.2.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Bước 1.1.2.2.5

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Bước 1.1.2.2.6

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.6.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Bước 1.1.2.2.6.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$f'' (x) = - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Bước 1.1.2.2.7

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f'' (x) = - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Bước 1.1.2.2.8

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Bước 1.1.2.2.9

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Bước 1.1.2.2.10

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Bước 1.1.2.2.11

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Bước 1.1.2.2.12

Nhân $\frac{1}{x^{2}}$ với $0$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Bước 1.1.2.2.13

Cộng $2 x^{- 3}$ và $0$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Bước 1.1.2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{14}{x^{3}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1

Vì $- 14$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{14}{x^{3}}$ đối với $x$ là $- 14 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{3}} + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Bước 1.1.2.3.2

Viết lại $\frac{1}{x^{3}}$ ở dạng ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 \frac{d}{d x} {(x^{3})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Bước 1.1.2.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x^{3}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Bước 1.1.2.3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Bước 1.1.2.3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x^{3}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Bước 1.1.2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Bước 1.1.2.3.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Bước 1.1.2.3.5.2

Nhân $3$ với $- 2$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Bước 1.1.2.3.6

Nhân $3$ với $- 1$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Bước 1.1.2.3.7

Nhân $x^{- 6}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.7.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Bước 1.1.2.3.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Bước 1.1.2.3.7.3

Trừ $6$ khỏi $2$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Bước 1.1.2.3.8

Nhân $- 3$ với $- 14$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Bước 1.1.2.4

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.4.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{3}{x^{4}}$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{4}}$

Bước 1.1.2.4.2

Viết lại $\frac{1}{x^{4}}$ ở dạng ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 \frac{d}{d x} {(x^{4})}^{- 1}$

Bước 1.1.2.4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.4.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{3}$ ở dạng $x^{4}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (\frac{d}{d u (3)} ({u_{3}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Bước 1.1.2.4.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ là $n {u_{3}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- {u_{3}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4})$

Bước 1.1.2.4.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $x^{4}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4})$

Bước 1.1.2.4.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Bước 1.1.2.4.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{4})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.4.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Bước 1.1.2.4.5.2

Nhân $4$ với $- 2$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Bước 1.1.2.4.6

Nhân $4$ với $- 1$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Bước 1.1.2.4.7

Nhân $x^{- 8}$ với $x^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.4.7.1

Di chuyển $x^{3}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Bước 1.1.2.4.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- 4 x^{3 - 8})$

Bước 1.1.2.4.7.3

Trừ $8$ khỏi $3$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- 4 x^{- 5})$

Bước 1.1.2.4.8

Nhân $- 4$ với $- 3$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} + 12 x^{- 5}$

Bước 1.1.2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.5.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{x^{3}}) + 42 x^{- 4} + 12 x^{- 5}$

Bước 1.1.2.5.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{x^{3}}) + 42 (\frac{1}{x^{4}}) + 12 x^{- 5}$

Bước 1.1.2.5.3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{x^{3}}) + 42 (\frac{1}{x^{4}}) + 12 (\frac{1}{x^{5}})$

Bước 1.1.2.5.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.5.4.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}} + 42 (\frac{1}{x^{4}}) + 12 (\frac{1}{x^{5}})$

Bước 1.1.2.5.4.2

Kết hợp $42$ và $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + 12 (\frac{1}{x^{5}})$

Bước 1.1.2.5.4.3

Kết hợp $12$ và $\frac{1}{x^{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}}$

Bước 1.1.3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}}$ .

$\frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}}$

Bước 1.2

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $\frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$\frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}} = 0$

Bước 1.2.2

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$x^{3}, x^{4}, x^{5}, 1$

Bước 1.2.2.2

Since $x^{3}, x^{4}, x^{5}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{3}, x^{4}, x^{5}$ .

Bước 1.2.2.3

BCNN là số dương nhỏ nhất mà tất cả các số chia đều cho nó.

1. Liệt kê các thừa số nguyên tố của từng số.

2. Nhân mỗi thừa số với số lần xuất hiện nhiều nhất của nó ở một trong các số.

Bước 1.2.2.4

Số $1$ không phải là một số nguyên tố vì nó chỉ có một thừa số dương, cũng là chính nó.

Không phải là số nguyên tố

Bước 1.2.2.5

BCNN của $1, 1, 1, 1$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số nguyên tố với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số.

$1$

Bước 1.2.2.6

Các thừa số cho $x^{3}$ là $x \cdot x \cdot x$ , chính là $x$ nhân với nhau $3$ lần.

$x^{3} = x \cdot x \cdot x$

$x$ xảy ra $3$ lần.

Bước 1.2.2.7

Các thừa số cho $x^{4}$ là $x \cdot x \cdot x \cdot x$ , chính là $x$ nhân với nhau $4$ lần.

$x^{4} = x \cdot x \cdot x \cdot x$

$x$ xảy ra $4$ lần.

Bước 1.2.2.8

Các thừa số cho $x^{5}$ là $x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$ , chính là $x$ nhân với nhau $5$ lần.

$x^{5} = x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$

$x$ xảy ra $5$ lần.

Bước 1.2.2.9

BCNN của $x^{3}, x^{4}, x^{5}$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số nguyên tố với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số hạng.

$x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$

Bước 1.2.2.10

Rút gọn $x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.10.1

Nhân $x$ với $x$ .

$x^{2} \cdot x \cdot x \cdot x$

Bước 1.2.2.10.2

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.10.2.1

Nhân $x^{2}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.10.2.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1} \cdot x \cdot x$

Bước 1.2.2.10.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x^{2 + 1} \cdot x \cdot x$

Bước 1.2.2.10.2.2

Cộng $2$ và $1$ .

$x^{3} \cdot x \cdot x$

Bước 1.2.2.10.3

Nhân $x^{3}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.10.3.1

Nhân $x^{3}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.10.3.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$x^{3} \cdot x^{1} \cdot x$

Bước 1.2.2.10.3.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x^{3 + 1} \cdot x$

Bước 1.2.2.10.3.2

Cộng $3$ và $1$ .

$x^{4} \cdot x$

Bước 1.2.2.10.4

Nhân $x^{4}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.10.4.1

Nhân $x^{4}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.10.4.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$x^{4} \cdot x^{1}$

Bước 1.2.2.10.4.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x^{4 + 1}$

Bước 1.2.2.10.4.2

Cộng $4$ và $1$ .

$x^{5}$

Bước 1.2.3

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}} = 0$ với $x^{5}$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}} = 0$ với $x^{5}$ .

$\frac{2}{x^{3}} x^{5} + \frac{42}{x^{4}} x^{5} + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

Bước 1.2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1.1.1

Đưa $x^{3}$ ra ngoài $x^{5}$ .

$\frac{2}{x^{3}} (x^{3} x^{2}) + \frac{42}{x^{4}} x^{5} + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

Bước 1.2.3.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{x^{3}} (x^{3} x^{2}) + \frac{42}{x^{4}} x^{5} + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

Bước 1.2.3.2.1.1.3

Viết lại biểu thức.

$2 x^{2} + \frac{42}{x^{4}} x^{5} + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

Bước 1.2.3.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1.2.1

Đưa $x^{4}$ ra ngoài $x^{5}$ .

$2 x^{2} + \frac{42}{x^{4}} (x^{4} x) + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

Bước 1.2.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 x^{2} + \frac{42}{x^{4}} (x^{4} x) + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

Bước 1.2.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$2 x^{2} + 42 x + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

Bước 1.2.3.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $x^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 x^{2} + 42 x + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

Bước 1.2.3.2.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$2 x^{2} + 42 x + 12 = 0 x^{5}$

Bước 1.2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.3.1

Nhân $0$ với $x^{5}$ .

$2 x^{2} + 42 x + 12 = 0$

Bước 1.2.4

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{2} + 42 x + 12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) + 42 x + 12 = 0$

Bước 1.2.4.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $42 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (21 x) + 12 = 0$

Bước 1.2.4.1.3

Đưa $2$ ra ngoài $12$ .

$2 x^{2} + 2 (21 x) + 2 \cdot 6 = 0$

Bước 1.2.4.1.4

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{2} + 2 (21 x)$ .

$2 (x^{2} + 21 x) + 2 \cdot 6 = 0$

Bước 1.2.4.1.5

Đưa $2$ ra ngoài $2 (x^{2} + 21 x) + 2 \cdot 6$ .

$2 (x^{2} + 21 x + 6) = 0$

Bước 1.2.4.2

Chia mỗi số hạng trong $2 (x^{2} + 21 x + 6) = 0$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 (x^{2} + 21 x + 6) = 0$ cho $2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 21 x + 6)}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 1.2.4.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (x^{2} + 21 x + 6)}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 1.2.4.2.2.1.2

Chia $x^{2} + 21 x + 6$ cho $1$ .

$x^{2} + 21 x + 6 = \frac{0}{2}$

Bước 1.2.4.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.3.1

Chia $0$ cho $2$ .

$x^{2} + 21 x + 6 = 0$

Bước 1.2.4.3

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 1.2.4.4

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = 21$ , và $c = 6$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{- 21 \pm \sqrt{21^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 6)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.4.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.5.1.1

Nâng $21$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.4.5.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.5.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.4.5.1.2.2

Nhân $- 4$ với $6$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 24}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.4.5.1.3

Trừ $24$ khỏi $441$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{417}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.4.5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{417}}{2}$

Bước 1.2.4.6

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.6.1.1

Nâng $21$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.4.6.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.6.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.4.6.1.2.2

Nhân $- 4$ với $6$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 24}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.4.6.1.3

Trừ $24$ khỏi $441$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{417}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.4.6.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{417}}{2}$

Bước 1.2.4.6.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$x = \frac{- 21 + \sqrt{417}}{2}$

Bước 1.2.4.6.4

Viết lại $- 21$ ở dạng $- 1 (21)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 21 + \sqrt{417}}{2}$

Bước 1.2.4.6.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $\sqrt{417}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 21 - 1 (- \sqrt{417})}{2}$

Bước 1.2.4.6.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (21) - 1 (- \sqrt{417})$ .

$x = \frac{- 1 (21 - \sqrt{417})}{2}$

Bước 1.2.4.6.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{21 - \sqrt{417}}{2}$

Bước 1.2.4.7

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.7.1.1

Nâng $21$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.4.7.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.7.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.4.7.1.2.2

Nhân $- 4$ với $6$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 24}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.4.7.1.3

Trừ $24$ khỏi $441$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{417}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.4.7.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{417}}{2}$

Bước 1.2.4.7.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$x = \frac{- 21 - \sqrt{417}}{2}$

Bước 1.2.4.7.4

Viết lại $- 21$ ở dạng $- 1 (21)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 21 - \sqrt{417}}{2}$

Bước 1.2.4.7.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \sqrt{417}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 21 - (\sqrt{417})}{2}$

Bước 1.2.4.7.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (21) - (\sqrt{417})$ .

$x = \frac{- 1 (21 + \sqrt{417})}{2}$

Bước 1.2.4.7.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{21 + \sqrt{417}}{2}$

Bước 1.2.4.8

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = - \frac{21 - \sqrt{417}}{2}, - \frac{21 + \sqrt{417}}{2}$

Bước 2

Tìm tập xác định của $f (x) = 1 + \frac{1}{x} + \frac{7}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đặt mẫu số trong $\frac{1}{x}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x = 0$

Bước 2.2

Đặt mẫu số trong $\frac{7}{x^{2}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x^{2} = 0$

Bước 2.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Bước 2.3.2

Rút gọn $\pm \sqrt{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Bước 2.3.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 0$

Bước 2.3.2.3

Cộng hoặc trừ $0$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 2.4

Đặt mẫu số trong $\frac{1}{x^{3}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x^{3} = 0$

Bước 2.5

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Bước 2.5.2

Rút gọn $\sqrt[3]{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Bước 2.5.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$x = 0$

Bước 2.6

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \neq 0}$

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \neq 0}$

Bước 3

Tạo các khoảng quanh giá trị $x$ có đạo hàm bậc hai bằng không hoặc không xác định.

$(- \infty, - \frac{21 + \sqrt{417}}{2}) \cup (- \frac{21 + \sqrt{417}}{2}, - \frac{21 - \sqrt{417}}{2}) \cup (- \frac{21 - \sqrt{417}}{2}, 0) \cup (0, \infty)$

Bước 4

Thay bất kỳ số nào từ khoảng $(- \infty, - \frac{21 + \sqrt{417}}{2})$ vào đạo hàm bậc hai và tính để xác định độ lõm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 23$ trong biểu thức.

$f'' (- 23) = \frac{2}{{(- 23)}^{3}} + \frac{42}{{(- 23)}^{4}} + \frac{12}{{(- 23)}^{5}}$

Bước 4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Nâng $- 23$ lên lũy thừa $3$ .

$f'' (- 23) = \frac{2}{- 12167} + \frac{42}{{(- 23)}^{4}} + \frac{12}{{(- 23)}^{5}}$

Bước 4.2.1.2

Nâng $- 23$ lên lũy thừa $4$ .

$f'' (- 23) = \frac{2}{- 12167} + \frac{42}{279841} + \frac{12}{{(- 23)}^{5}}$

Bước 4.2.1.3

Nâng $- 23$ lên lũy thừa $5$ .

$f'' (- 23) = \frac{2}{- 12167} + \frac{42}{279841} + \frac{12}{- 6436343}$

Bước 4.2.1.4

Nhân $\frac{2}{- 12167}$ với $\frac{- 529}{- 529}$ .

$f'' (- 23) = \frac{2}{- 12167} \cdot \frac{- 529}{- 529} + \frac{42}{279841} + \frac{12}{- 6436343}$

Bước 4.2.1.5

Nhân $\frac{2}{- 12167}$ với $\frac{- 529}{- 529}$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{- 12167 \cdot - 529} + \frac{42}{279841} + \frac{12}{- 6436343}$

Bước 4.2.1.6

Nhân $\frac{42}{279841}$ với $\frac{23}{23}$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{- 12167 \cdot - 529} + \frac{42}{279841} \cdot \frac{23}{23} + \frac{12}{- 6436343}$

Bước 4.2.1.7

Nhân $\frac{42}{279841}$ với $\frac{23}{23}$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{- 12167 \cdot - 529} + \frac{42 \cdot 23}{279841 \cdot 23} + \frac{12}{- 6436343}$

Bước 4.2.1.8

Nhân $\frac{12}{- 6436343}$ với $\frac{- 1}{- 1}$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{- 12167 \cdot - 529} + \frac{42 \cdot 23}{279841 \cdot 23} + \frac{12}{- 6436343} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Bước 4.2.1.9

Nhân $\frac{12}{- 6436343}$ với $\frac{- 1}{- 1}$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{- 12167 \cdot - 529} + \frac{42 \cdot 23}{279841 \cdot 23} + \frac{12 \cdot - 1}{- 6436343 \cdot - 1}$

Bước 4.2.1.10

Nhân $- 12167$ với $- 529$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{6436343} + \frac{42 \cdot 23}{279841 \cdot 23} + \frac{12 \cdot - 1}{- 6436343 \cdot - 1}$

Bước 4.2.1.11

Sắp xếp lại các thừa số của $279841 \cdot 23$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{6436343} + \frac{42 \cdot 23}{23 \cdot 279841} + \frac{12 \cdot - 1}{- 6436343 \cdot - 1}$

Bước 4.2.1.12

Nhân $23$ với $279841$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{6436343} + \frac{42 \cdot 23}{6436343} + \frac{12 \cdot - 1}{- 6436343 \cdot - 1}$

Bước 4.2.1.13

Nhân $- 6436343$ với $- 1$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{6436343} + \frac{42 \cdot 23}{6436343} + \frac{12 \cdot - 1}{6436343}$

Bước 4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529 + 42 \cdot 23 + 12 \cdot - 1}{6436343}$

Bước 4.2.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Nhân $2$ với $- 529$ .

$f'' (- 23) = \frac{- 1058 + 42 \cdot 23 + 12 \cdot - 1}{6436343}$

Bước 4.2.3.2

Nhân $42$ với $23$ .

$f'' (- 23) = \frac{- 1058 + 966 + 12 \cdot - 1}{6436343}$

Bước 4.2.3.3

Nhân $12$ với $- 1$ .

$f'' (- 23) = \frac{- 1058 + 966 - 12}{6436343}$

Bước 4.2.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Cộng $- 1058$ và $966$ .

$f'' (- 23) = \frac{- 92 - 12}{6436343}$

Bước 4.2.4.2

Trừ $12$ khỏi $- 92$ .

$f'' (- 23) = \frac{- 104}{6436343}$

Bước 4.2.4.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (- 23) = - \frac{104}{6436343}$

Bước 4.2.5

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{104}{6436343}$ .

$- \frac{104}{6436343}$

Bước 4.3

Đồ thị lồi trên khoảng $(- \infty, - \frac{21 + \sqrt{417}}{2})$ vì $f'' (- 23)$ âm.

Lồi trên $(- \infty, - \frac{21 + \sqrt{417}}{2})$ vì $f'' (x)$ âm

Bước 5

Thay bất kỳ số nào từ khoảng $(- \frac{21 + \sqrt{417}}{2}, - \frac{21 - \sqrt{417}}{2})$ vào đạo hàm bậc hai và tính để xác định độ lõm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 3$ trong biểu thức.

$f'' (- 3) = \frac{2}{{(- 3)}^{3}} + \frac{42}{{(- 3)}^{4}} + \frac{12}{{(- 3)}^{5}}$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $3$ .

$f'' (- 3) = \frac{2}{- 27} + \frac{42}{{(- 3)}^{4}} + \frac{12}{{(- 3)}^{5}}$

Bước 5.2.1.2

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $4$ .

$f'' (- 3) = \frac{2}{- 27} + \frac{42}{81} + \frac{12}{{(- 3)}^{5}}$

Bước 5.2.1.3

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $5$ .

$f'' (- 3) = \frac{2}{- 27} + \frac{42}{81} + \frac{12}{- 243}$

Bước 5.2.1.4

Nhân $\frac{2}{- 27}$ với $\frac{- 9}{- 9}$ .

$f'' (- 3) = \frac{2}{- 27} \cdot \frac{- 9}{- 9} + \frac{42}{81} + \frac{12}{- 243}$

Bước 5.2.1.5

Nhân $\frac{2}{- 27}$ với $\frac{- 9}{- 9}$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{- 27 \cdot - 9} + \frac{42}{81} + \frac{12}{- 243}$

Bước 5.2.1.6

Nhân $\frac{42}{81}$ với $\frac{3}{3}$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{- 27 \cdot - 9} + \frac{42}{81} \cdot \frac{3}{3} + \frac{12}{- 243}$

Bước 5.2.1.7

Nhân $\frac{42}{81}$ với $\frac{3}{3}$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{- 27 \cdot - 9} + \frac{42 \cdot 3}{81 \cdot 3} + \frac{12}{- 243}$

Bước 5.2.1.8

Nhân $\frac{12}{- 243}$ với $\frac{- 1}{- 1}$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{- 27 \cdot - 9} + \frac{42 \cdot 3}{81 \cdot 3} + \frac{12}{- 243} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Bước 5.2.1.9

Nhân $\frac{12}{- 243}$ với $\frac{- 1}{- 1}$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{- 27 \cdot - 9} + \frac{42 \cdot 3}{81 \cdot 3} + \frac{12 \cdot - 1}{- 243 \cdot - 1}$

Bước 5.2.1.10

Nhân $- 27$ với $- 9$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{243} + \frac{42 \cdot 3}{81 \cdot 3} + \frac{12 \cdot - 1}{- 243 \cdot - 1}$

Bước 5.2.1.11

Sắp xếp lại các thừa số của $81 \cdot 3$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{243} + \frac{42 \cdot 3}{3 \cdot 81} + \frac{12 \cdot - 1}{- 243 \cdot - 1}$

Bước 5.2.1.12

Nhân $3$ với $81$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{243} + \frac{42 \cdot 3}{243} + \frac{12 \cdot - 1}{- 243 \cdot - 1}$

Bước 5.2.1.13

Nhân $- 243$ với $- 1$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{243} + \frac{42 \cdot 3}{243} + \frac{12 \cdot - 1}{243}$

Bước 5.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9 + 42 \cdot 3 + 12 \cdot - 1}{243}$

Bước 5.2.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Nhân $2$ với $- 9$ .

$f'' (- 3) = \frac{- 18 + 42 \cdot 3 + 12 \cdot - 1}{243}$

Bước 5.2.3.2

Nhân $42$ với $3$ .

$f'' (- 3) = \frac{- 18 + 126 + 12 \cdot - 1}{243}$

Bước 5.2.3.3

Nhân $12$ với $- 1$ .

$f'' (- 3) = \frac{- 18 + 126 - 12}{243}$

Bước 5.2.4

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Cộng $- 18$ và $126$ .

$f'' (- 3) = \frac{108 - 12}{243}$

Bước 5.2.4.2

Trừ $12$ khỏi $108$ .

$f'' (- 3) = \frac{96}{243}$

Bước 5.2.4.3

Triệt tiêu thừa số chung của $96$ và $243$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $96$ .

$f'' (- 3) = \frac{3 (32)}{243}$

Bước 5.2.4.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $243$ .

$f'' (- 3) = \frac{3 \cdot 32}{3 \cdot 81}$

Bước 5.2.4.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (- 3) = \frac{3 \cdot 32}{3 \cdot 81}$

Bước 5.2.4.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$f'' (- 3) = \frac{32}{81}$

Bước 5.2.5

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{32}{81}$ .

$\frac{32}{81}$

Bước 5.3

Đồ thị lõm trong khoảng $(- \frac{21 + \sqrt{417}}{2}, - \frac{21 - \sqrt{417}}{2})$ vì $f'' (- 3)$ dương.

Lõm trên $(- \frac{21 + \sqrt{417}}{2}, - \frac{21 - \sqrt{417}}{2})$ vì $f'' (x)$ dương

Bước 6

Thay bất kỳ số nào từ khoảng $(- \frac{21 - \sqrt{417}}{2}, 0)$ vào đạo hàm bậc hai và tính để xác định độ lõm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 0.14$ trong biểu thức.

$f'' (- 0.14) = \frac{2}{{(- 0.14)}^{3}} + \frac{42}{{(- 0.14)}^{4}} + \frac{12}{{(- 0.14)}^{5}}$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Nâng $- 0.14$ lên lũy thừa $3$ .

$f'' (- 0.14) = \frac{2}{- 0.002744} + \frac{42}{{(- 0.14)}^{4}} + \frac{12}{{(- 0.14)}^{5}}$

Bước 6.2.1.2

Chia $2$ cho $- 0.002744$ .

$f'' (- 0.14) = - 728.86297376 + \frac{42}{{(- 0.14)}^{4}} + \frac{12}{{(- 0.14)}^{5}}$

Bước 6.2.1.3

Nâng $- 0.14$ lên lũy thừa $4$ .

$f'' (- 0.14) = - 728.86297376 + \frac{42}{0.00038416} + \frac{12}{{(- 0.14)}^{5}}$

Bước 6.2.1.4

Chia $42$ cho $0.00038416$ .

$f'' (- 0.14) = - 728.86297376 + 109329.44606413 + \frac{12}{{(- 0.14)}^{5}}$

Bước 6.2.1.5

Nâng $- 0.14$ lên lũy thừa $5$ .

$f'' (- 0.14) = - 728.86297376 + 109329.44606413 + \frac{12}{- 0.00005378}$

Bước 6.2.1.6

Chia $12$ cho $- 0.00005378$ .

$f'' (- 0.14) = - 728.86297376 + 109329.44606413 - 223121.31849824$

Bước 6.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Cộng $- 728.86297376$ và $109329.44606413$ .

$f'' (- 0.14) = 108600.58309037 - 223121.31849824$

Bước 6.2.2.2

Trừ $223121.31849824$ khỏi $108600.58309037$ .

$f'' (- 0.14) = - 114520.73540786$

Bước 6.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 114520.73540786$ .

$- 114520.73540786$

Bước 6.3

Đồ thị lồi trên khoảng $(- \frac{21 - \sqrt{417}}{2}, 0)$ vì $f'' (- 0.14)$ âm.

Lồi trên $(- \frac{21 - \sqrt{417}}{2}, 0)$ vì $f'' (x)$ âm

Bước 7

Thay bất kỳ số nào từ khoảng $(0, \infty)$ vào đạo hàm bậc hai và tính để xác định độ lõm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$f'' (2) = \frac{2}{{(2)}^{3}} + \frac{42}{{(2)}^{4}} + \frac{12}{{(2)}^{5}}$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$f'' (2) = \frac{2}{8} + \frac{42}{{(2)}^{4}} + \frac{12}{{(2)}^{5}}$

Bước 7.2.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$f'' (2) = \frac{2}{8} + \frac{42}{16} + \frac{12}{{(2)}^{5}}$

Bước 7.2.1.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $5$ .

$f'' (2) = \frac{2}{8} + \frac{42}{16} + \frac{12}{32}$

Bước 7.2.1.4

Nhân $\frac{2}{8}$ với $\frac{4}{4}$ .

$f'' (2) = \frac{2}{8} \cdot \frac{4}{4} + \frac{42}{16} + \frac{12}{32}$

Bước 7.2.1.5

Nhân $\frac{2}{8}$ với $\frac{4}{4}$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{8 \cdot 4} + \frac{42}{16} + \frac{12}{32}$

Bước 7.2.1.6

Nhân $\frac{42}{16}$ với $\frac{2}{2}$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{8 \cdot 4} + \frac{42}{16} \cdot \frac{2}{2} + \frac{12}{32}$

Bước 7.2.1.7

Nhân $\frac{42}{16}$ với $\frac{2}{2}$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{8 \cdot 4} + \frac{42 \cdot 2}{16 \cdot 2} + \frac{12}{32}$

Bước 7.2.1.8

Sắp xếp lại các thừa số của $8 \cdot 4$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{4 \cdot 8} + \frac{42 \cdot 2}{16 \cdot 2} + \frac{12}{32}$

Bước 7.2.1.9

Nhân $4$ với $8$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{32} + \frac{42 \cdot 2}{16 \cdot 2} + \frac{12}{32}$

Bước 7.2.1.10

Sắp xếp lại các thừa số của $16 \cdot 2$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{32} + \frac{42 \cdot 2}{2 \cdot 16} + \frac{12}{32}$

Bước 7.2.1.11

Nhân $2$ với $16$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{32} + \frac{42 \cdot 2}{32} + \frac{12}{32}$

Bước 7.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4 + 42 \cdot 2 + 12}{32}$

Bước 7.2.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Nhân $2$ với $4$ .

$f'' (2) = \frac{8 + 42 \cdot 2 + 12}{32}$

Bước 7.2.3.2

Nhân $42$ với $2$ .

$f'' (2) = \frac{8 + 84 + 12}{32}$

Bước 7.2.4

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.1

Cộng $8$ và $84$ .

$f'' (2) = \frac{92 + 12}{32}$

Bước 7.2.4.2

Cộng $92$ và $12$ .

$f'' (2) = \frac{104}{32}$

Bước 7.2.4.3

Triệt tiêu thừa số chung của $104$ và $32$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.3.1

Đưa $8$ ra ngoài $104$ .

$f'' (2) = \frac{8 (13)}{32}$

Bước 7.2.4.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.3.2.1

Đưa $8$ ra ngoài $32$ .

$f'' (2) = \frac{8 \cdot 13}{8 \cdot 4}$

Bước 7.2.4.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (2) = \frac{8 \cdot 13}{8 \cdot 4}$

Bước 7.2.4.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$f'' (2) = \frac{13}{4}$

Bước 7.2.5

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{13}{4}$ .

$\frac{13}{4}$

Bước 7.3

Đồ thị lõm trong khoảng $(0, \infty)$ vì $f'' (2)$ dương.

Lõm trên $(0, \infty)$ vì $f'' (x)$ dương

Bước 8

Đồ thị lồi khi đạo hàm bậc hai âm và lõm khi đạo hàm bậc hai dương.

Lồi trên $(- \infty, - \frac{21 + \sqrt{417}}{2})$ vì $f'' (x)$ âm

Lõm trên $(- \frac{21 + \sqrt{417}}{2}, - \frac{21 - \sqrt{417}}{2})$ vì $f'' (x)$ dương

Lồi trên $(- \frac{21 - \sqrt{417}}{2}, 0)$ vì $f'' (x)$ âm

Lõm trên $(0, \infty)$ vì $f'' (x)$ dương

Bước 9