Giải tích Ví dụ

$f (x) = 2 x^{\frac{3}{5}} - \frac{2}{x^{3}} + 6 x + 2 \sin (x) + \ln (3)$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int 2 x^{\frac{3}{5}} - \frac{2}{x^{3}} + 6 x + 2 \sin (x) + \ln (3) d x$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 2 x^{\frac{3}{5}} d x + \int - \frac{2}{x^{3}} d x + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Bước 4

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int x^{\frac{3}{5}} d x + \int - \frac{2}{x^{3}} d x + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{3}{5}}$ đối với $x$ là $\frac{5}{8} x^{\frac{8}{5}}$ .

$2 (\frac{5}{8} x^{\frac{8}{5}} + C) + \int - \frac{2}{x^{3}} d x + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Bước 6

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{5}{8} x^{\frac{8}{5}} + C) - \int \frac{2}{x^{3}} d x + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Bước 7

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{5}{8} x^{\frac{8}{5}} + C) - (2 \int \frac{1}{x^{3}} d x) + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Bước 8

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Kết hợp $\frac{5}{8}$ và $x^{\frac{8}{5}}$ .

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - (2 \int \frac{1}{x^{3}} d x) + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Bước 8.1.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Bước 8.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Di chuyển $x^{3}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Bước 8.2.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Bước 8.2.2.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 \int x^{- 3} d x + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 3}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Kết hợp $x^{- 2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Bước 10.2

Di chuyển $x^{- 2}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Bước 11

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 6 \int x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Bước 12

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Bước 13

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 6 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Bước 14

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 6 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 \int \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Bước 15

Tích phân của $\sin (x)$ đối với $x$ là $- \cos (x)$ .

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 6 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 (- \cos (x) + C) + \int \ln (3) d x$

Bước 16

Áp dụng quy tắc hằng số.

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 6 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 (- \cos (x) + C) + \ln (3) x + C$

Bước 17

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Rút gọn.

$\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{4} + \frac{1}{x^{2}} + 3 x^{2} - 2 \cos (x) + \ln (3) x + C$

Bước 17.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{5}{4} x^{\frac{8}{5}} + \frac{1}{x^{2}} + 3 x^{2} - 2 \cos (x) + \ln (3) x + C$

Bước 18

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = 2 x^{\frac{3}{5}} - \frac{2}{x^{3}} + 6 x + 2 \sin (x) + \ln (3)$ .

$F (x) =$ $\frac{5}{4} x^{\frac{8}{5}} + \frac{1}{x^{2}} + 3 x^{2} - 2 \cos (x) + \ln (3) x + C$