Giải tích Ví dụ

$f (t) = t e^{- t^{2}}$ , $[0, 7]$

Bước 1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${t | t \in ℝ}$

Bước 2

$f (t)$ liên tục trên $[0, 7]$ .

$f (t)$ là liên tục

Bước 3

Giá trị trung bình của hàm số $f$ trong khoảng $[a, b]$ được định nghĩa là $A (t) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (t) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Bước 4

Thay các giá trị thực tế vào công thức cho giá trị trung bình của một hàm số.

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (\int_{0}^{7} t e^{- t^{2}} d t)$

Bước 5

Giả sử $u = - t^{2}$ . Sau đó $d u = - 2 t d t$ , nên $- \frac{1}{2} d u = t d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = - t^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $- t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [- t^{2}]$

Bước 5.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- t^{2}$ đối với $t$ là $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$- \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Bước 5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- (2 t)$

Bước 5.1.4

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 t$

Bước 5.2

Thay giới hạn dưới vào cho $t$ trong $u = - t^{2}$ .

$u_{lower} = - 0^{2}$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$u_{lower} = - 0$

Bước 5.3.2

Nhân $- 1$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 5.4

Thay giới hạn trên vào cho $t$ trong $u = - t^{2}$ .

$u_{upper} = - 7^{2}$

Bước 5.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Nâng $7$ lên lũy thừa $2$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 49$

Bước 5.5.2

Nhân $- 1$ với $49$ .

$u_{upper} = - 49$

Bước 5.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 49$

Bước 5.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (\int_{0}^{- 49} e^{u} (\frac{1}{- 2}) d u)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (\int_{0}^{- 49} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u)$

Bước 6.2

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{2}$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (\int_{0}^{- 49} - \frac{e^{u}}{2} d u)$

Bước 7

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \int_{0}^{- 49} \frac{e^{u}}{2} d u)$

Bước 8

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- (\frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{- 49} e^{u} d u))$

Bước 9

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2} \cdot e^{u}]_{0}^{- 49})$

Bước 10

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Tính $e^{u}$ tại $- 49$ và tại $0$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2} \cdot ((e^{- 49}) - e^{0}))$

Bước 10.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2} \cdot (e^{- 49} - 1 \cdot 1))$

Bước 10.2.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2} \cdot (e^{- 49} - 1))$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{e^{49}} - 1))$

Bước 11.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e^{49}} - \frac{1}{2} \cdot - 1)$

Bước 11.3

Nhân $\frac{1}{e^{49}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{e^{49} \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot - 1)$

Bước 11.4

Nhân $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{e^{49} \cdot 2} + 1 (\frac{1}{2}))$

Bước 11.4.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{e^{49} \cdot 2} + \frac{1}{2})$

Bước 11.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{49}$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2 e^{49}} + \frac{1}{2})$

Bước 12

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$A (t) = \frac{1}{7 + 0} \cdot (- \frac{1}{2 e^{49}} + \frac{1}{2})$

Bước 12.2

Cộng $7$ và $0$ .

$A (t) = \frac{1}{7} \cdot (- \frac{1}{2 e^{49}} + \frac{1}{2})$

Bước 13

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$A (t) = \frac{1}{7} \cdot (- \frac{1}{2 e^{49}}) + \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 14

Nhân $\frac{1}{7} (- \frac{1}{2 e^{49}})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Nhân $\frac{1}{7}$ với $\frac{1}{2 e^{49}}$ .

$A (t) = - \frac{1}{7 (2 e^{49})} + \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 14.2

Nhân $2$ với $7$ .

$A (t) = - \frac{1}{14 e^{49}} + \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 15

Nhân $\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Nhân $\frac{1}{7}$ với $\frac{1}{2}$ .

$A (t) = - \frac{1}{14 e^{49}} + \frac{1}{7 \cdot 2}$

Bước 15.2

Nhân $7$ với $2$ .

$A (t) = - \frac{1}{14 e^{49}} + \frac{1}{14}$

Bước 16