Giải tích Ví dụ

$y = \sqrt[3]{x}$ , $y = \frac{1}{x}$

Bước 1

Giải bằng phương pháp thay thế để tìm phần giao giữa hai đường cong.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Loại bỏ các vế bằng nhau của mỗi phương trình sau đó kết hợp.

$\sqrt[3]{x} = \frac{1}{x}$

Bước 1.2

Giải $\sqrt[3]{x} = \frac{1}{x}$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, lấy mũ ba cả hai vế của phương trình.

${\sqrt[3]{x}}^{3} = {(\frac{1}{x})}^{3}$

Bước 1.2.2

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{1}{x})}^{3}$

Bước 1.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.1

Rút gọn ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{1}{x})}^{3}$

Bước 1.2.2.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{1}{x})}^{3}$

Bước 1.2.2.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$x^{1} = {(\frac{1}{x})}^{3}$

Bước 1.2.2.2.1.2

Rút gọn.

$x = {(\frac{1}{x})}^{3}$

Bước 1.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.3.1

Rút gọn ${(\frac{1}{x})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.3.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{x}$ .

$x = \frac{1^{3}}{x^{3}}$

Bước 1.2.2.3.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$x = \frac{1}{x^{3}}$

Bước 1.2.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$1, x^{3} + y = \frac{1}{x}$

Bước 1.2.3.1.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$x^{3} + y = \frac{1}{x}$

Bước 1.2.3.2

Nhân mỗi số hạng trong $x = \frac{1}{x^{3}}$ với $x^{3}$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Nhân mỗi số hạng trong $x = \frac{1}{x^{3}}$ với $x^{3}$ .

$x \cdot x^{3} = \frac{1}{x^{3}} x^{3}$

Bước 1.2.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.2.1

Nhân $x$ với $x^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.2.1.1

Nhân $x$ với $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.2.1.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$x^{1} x^{3} = \frac{1}{x^{3}} x^{3}$

Bước 1.2.3.2.2.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x^{1 + 3} = \frac{1}{x^{3}} x^{3}$

Bước 1.2.3.2.2.1.2

Cộng $1$ và $3$ .

$x^{4} = \frac{1}{x^{3}} x^{3}$

Bước 1.2.3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{4} = \frac{1}{x^{3}} x^{3}$

Bước 1.2.3.2.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$x^{4} = 1$

Bước 1.2.3.3

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.3.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt[4]{1}$

Bước 1.2.3.3.2

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$x = \pm 1$

Bước 1.2.3.3.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.3.3.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = 1$

Bước 1.2.3.3.3.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - 1$

Bước 1.2.3.3.3.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 1, - 1$

Bước 1.3

Tính $y$ khi $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Thay $1$ bằng $x$ .

$y = \frac{1}{1}$

Bước 1.3.2

Thế $1$ vào $x$ trong $y = \frac{1}{1}$ và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = \frac{1}{1}$

Bước 1.3.2.2

Chia $1$ cho $1$ .

$y = 1$

Bước 1.4

Tính $y$ khi $x = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Thay $- 1$ bằng $x$ .

$y = \frac{1}{- 1}$

Bước 1.4.2

Chia $1$ cho $- 1$ .

$y = - 1$

Bước 1.5

Đáp án cho hệ là tập hợp đầy đủ của các cặp có thứ tự cũng chính là các đáp án hợp lệ.

$(1, 1)$

$(- 1, - 1)$

$(1, 1)$

$(- 1, - 1)$

Bước 2

Diện tích của vùng giữa các đường cong được xác định bằng tích phân của đường cong trên trừ đi tích phân của đường cong dưới trên mỗi vùng. Các vùng được xác định bởi các giao điểm của các đường cong. Điều này có thể được thực hiện theo phương pháp đại số hoặc phương pháp vẽ đồ thị.

$A r e a = \int_{- 1}^{1} \frac{1}{x} d x - \int_{- 1}^{1} \sqrt[3]{x} d x$

Bước 3

Lấy tích phân để tìm diện tích giữa $- 1$ và $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp các tích phân thành một tích phân.

$\int_{- 1}^{1} \frac{1}{x} - (\sqrt[3]{x}) d x$

Bước 3.2

Nhân $- 1$ với $\sqrt[3]{x}$ .

$\int_{- 1}^{1} \frac{1}{x} - \sqrt[3]{x} d x$

Bước 3.3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{- 1}^{1} \frac{1}{x} d x + \int_{- 1}^{1} - \sqrt[3]{x} d x$

Bước 3.4

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |)]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - \sqrt[3]{x} d x$

Bước 3.5

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| x |)]_{- 1}^{1} - \int_{- 1}^{1} \sqrt[3]{x} d x$

Bước 3.6

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\ln (| x |)]_{- 1}^{1} - \int_{- 1}^{1} x^{\frac{1}{3}} d x$

Bước 3.7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{1}{3}}$ đối với $x$ là $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\ln (| x |)]_{- 1}^{1} - (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{- 1}^{1})$

Bước 3.8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Kết hợp $\frac{3}{4}$ và $x^{\frac{4}{3}}$ .

$\ln (| x |)]_{- 1}^{1} - (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}]_{- 1}^{1})$

Bước 3.8.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.2.1

Tính $\ln (| x |)$ tại $1$ và tại $- 1$ .

$(\ln (| 1 |)) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}]_{- 1}^{1})$

Bước 3.8.2.2

Tính $\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}$ tại $1$ và tại $- 1$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}{4})$

Bước 3.8.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.2.3.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3 \cdot 1}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}{4})$

Bước 3.8.2.3.2

Nhân $3$ với $1$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}{4})$

Bước 3.8.2.3.3

Viết lại $- 1$ ở dạng ${(- 1)}^{3}$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}}}{4})$

Bước 3.8.2.3.4

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}{4})$

Bước 3.8.2.3.5

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.2.3.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}{4})$

Bước 3.8.2.3.5.2

Viết lại biểu thức.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{4}}{4})$

Bước 3.8.2.3.6

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $4$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 1}{4})$

Bước 3.8.2.3.7

Nhân $3$ với $1$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3}{4})$

Bước 3.8.2.3.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{3 - 3}{4}$

Bước 3.8.2.3.9

Trừ $3$ khỏi $3$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{0}{4}$

Bước 3.8.2.3.10

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.2.3.10.1

Đưa $4$ ra ngoài $0$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{4 (0)}{4}$

Bước 3.8.2.3.10.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.2.3.10.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}$

Bước 3.8.2.3.10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}$

Bước 3.8.2.3.10.2.3

Viết lại biểu thức.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{0}{1}$

Bước 3.8.2.3.10.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - 0$

Bước 3.8.2.3.11

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) + 0$

Bước 3.8.2.3.12

Cộng $\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |)$ và $0$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |)$

Bước 3.8.3

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 |}{| - 1 |})$

Bước 3.8.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.4.1

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\ln (\frac{1}{| - 1 |})$

Bước 3.8.4.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $- 1$ và $0$ là $1$ .

$\ln (\frac{1}{1})$

Bước 3.8.4.3

Chia $1$ cho $1$ .

$\ln (1)$

Bước 3.9

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$0$

Bước 4