Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 1} (x - 1) \ln (x - 1)$

Bước 1

Thay đổi giới hạn hai bên thành giới hạn phải.

$lim_{x \to 1^{+}} (x - 1) \ln (x - 1)$

Bước 2

Viết lại $(x - 1) \ln (x - 1)$ ở dạng $\frac{x - 1}{\frac{1}{\ln (x - 1)}}$ .

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{x - 1}{\frac{1}{\ln (x - 1)}}$

Bước 3

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to 1^{+}} x - 1}{lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{\ln (x - 1)}}$

Bước 3.1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1^{+}} x - lim_{x \to 1^{+}} 1}{lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{\ln (x - 1)}}$

Bước 3.1.2.1.2

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1^{+}} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{\ln (x - 1)}}$

Bước 3.1.2.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $1$ cho $x$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{\ln (x - 1)}}$

Bước 3.1.2.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.3.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{\ln (x - 1)}}$

Bước 3.1.2.3.2

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{\ln (x - 1)}}$

Bước 3.1.3

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{\ln (x - 1)}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{0}{0}$

Bước 3.1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 3.2

Vì $\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{x - 1}{\frac{1}{\ln (x - 1)}} = lim_{x \to 1^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x - 1)}]}$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x - 1)}]}$

Bước 3.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x - 1)}]}$

Bước 3.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x - 1)}]}$

Bước 3.3.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x - 1)}]}$

Bước 3.3.5

Cộng $1$ và $0$ .

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x - 1)}]}$

Bước 3.3.6

Viết lại $\frac{1}{\ln (x - 1)}$ ở dạng $\ln^{- 1} (x - 1)$ .

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\ln^{- 1} (x - 1)]}$

Bước 3.3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = \ln (x - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.7.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\ln (x - 1)$ .

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [\ln (x - 1)]}$

Bước 3.3.7.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [\ln (x - 1)]}$

Bước 3.3.7.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\ln (x - 1)$ .

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \ln^{- 2} (x - 1) \frac{d}{d x} [\ln (x - 1)]}$

Bước 3.3.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.8.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x - 1$ .

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \ln^{- 2} (x - 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x - 1])}$

Bước 3.3.8.2

Đạo hàm của $\ln (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{u_{2}}$ .

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \ln^{- 2} (x - 1) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x - 1])}$

Bước 3.3.8.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x - 1$ .

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \ln^{- 2} (x - 1) (\frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])}$

Bước 3.3.9

Kết hợp $\frac{1}{x - 1}$ và $\ln^{- 2} (x - 1)$ .

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \frac{\ln^{- 2} (x - 1)}{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Bước 3.3.10

Di chuyển $\ln^{- 2} (x - 1)$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \frac{1}{(x - 1) \ln^{2} (x - 1)} \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Bước 3.3.11

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \frac{1}{(x - 1) \ln^{2} (x - 1)} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}$

Bước 3.3.12

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \frac{1}{(x - 1) \ln^{2} (x - 1)} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}$

Bước 3.3.13

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \frac{1}{(x - 1) \ln^{2} (x - 1)} (1 + 0)}$

Bước 3.3.14

Cộng $1$ và $0$ .

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \frac{1}{(x - 1) \ln^{2} (x - 1)} \cdot 1}$

Bước 3.3.15

Nhân $- 1$ với $1$ .

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \frac{1}{(x - 1) \ln^{2} (x - 1)}}$

Bước 3.3.16

Sắp xếp lại các thừa số trong $- \frac{1}{(x - 1) \ln^{2} (x - 1)}$ .

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \frac{1}{\ln^{2} (x - 1) (x - 1)}}$

Bước 3.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$lim_{x \to 1^{+}} 1 (- (\ln^{2} (x - 1) (x - 1)))$

Bước 3.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$lim_{x \to 1^{+}} - (\ln^{2} (x - 1) (x - 1))$

Bước 3.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$lim_{x \to 1^{+}} - (\ln^{2} (x - 1) x + \ln^{2} (x - 1) \cdot - 1)$

Bước 3.7

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $\ln^{2} (x - 1)$ .

$lim_{x \to 1^{+}} - (\ln^{2} (x - 1) x - 1 \cdot \ln^{2} (x - 1))$

Bước 3.8

Viết lại $- 1 \ln^{2} (x - 1)$ ở dạng $- \ln^{2} (x - 1)$ .

$lim_{x \to 1^{+}} - (\ln^{2} (x - 1) x - \ln^{2} (x - 1))$

Bước 3.9

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$lim_{x \to 1^{+}} - (\ln^{2} (x - 1) x) - - \ln^{2} (x - 1)$

Bước 3.10

Nhân $- - \ln^{2} (x - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$lim_{x \to 1^{+}} - \ln^{2} (x - 1) x + 1 \ln^{2} (x - 1)$

Bước 3.10.2

Nhân $\ln^{2} (x - 1)$ với $1$ .

$lim_{x \to 1^{+}} - \ln^{2} (x - 1) x + \ln^{2} (x - 1)$

Bước 3.11

Sắp xếp lại các thừa số trong $- \ln^{2} (x - 1) x + \ln^{2} (x - 1)$ .

$lim_{x \to 1^{+}} - x \ln^{2} (x - 1) + \ln^{2} (x - 1)$

Bước 4

Tạo một bảng để hiển thị độ biến thiên của hàm số $- x \ln^{2} (x - 1) + \ln^{2} (x - 1)$ khi $x$ tiến dần đến $1$ từ phía bên phải.

$\begin{array}{c} x & - x \ln^{2} (x - 1) + \ln^{2} (x - 1) \\ 1.1 & - 0.53018981 \\ 1.01 & - 0.21207592 \\ 1.001 & - 0.04771708 \\ 1.0001 & - 0.00848303 \\ 1.00001 & - 0.00132547 \\ 1.000001 & - 0.00019086 \\ 1.0000001 & - 0.00002597 \end{array}$

Bước 5

Khi các giá trị $x$ tiến dần đến $1$ , các giá trị hàm số tiến dần đến $0$ . Cho nên, giới hạn của $- x \ln^{2} (x - 1) + \ln^{2} (x - 1)$ khi $x$ tiến dần đến $1$ từ phía bên phải là $0$ .

$0$