Giải tích Ví dụ

$y = x^{\frac{3}{2}} - 3 x^{\frac{5}{2}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{\frac{3}{2}} - 3 x^{\frac{5}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{2}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{5}{2}})$

Bước 1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{3}{2}$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{5}{2}})$

Bước 1.1.2.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{5}{2}})$

Bước 1.1.2.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{5}{2}})$

Bước 1.1.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{5}{2}})$

Bước 1.1.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.5.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{5}{2}})$

Bước 1.1.2.5.2

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{5}{2}})$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 x^{\frac{5}{2}}$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 \frac{d}{d x} x^{\frac{5}{2}}$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{5}{2}$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})$

Bước 1.1.3.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 1.1.3.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 1.1.3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 1.1.3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})$

Bước 1.1.3.6.2

Trừ $2$ khỏi $5$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})$

Bước 1.1.3.7

Kết hợp $\frac{5}{2}$ và $x^{\frac{3}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Bước 1.1.3.8

Kết hợp $- 3$ và $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2}$

Bước 1.1.3.9

Nhân $5$ với $- 3$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Bước 1.1.3.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Bước 1.1.4

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} = 0$

Bước 2.2

Tìm một thừa số chung $x^{\frac{1}{2}}$ đại diện cho mỗi số hạng.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{15}{2 {(x^{\frac{1}{2}})}^{3}}$

Bước 2.3

Thay $u$ bằng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 (u)}{2} - \frac{15}{2 {(u)}^{3}} = 0$

Bước 2.4

Giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Phân tích mỗi số hạng thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.1

Nhân $3$ với $u$ .

$\frac{3 u}{2} - \frac{15}{2 {(u)}^{3}} = 0$

Bước 2.4.1.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\frac{3 u}{2} - \frac{15}{2 u^{3}} = 0$

Bước 2.4.2

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$2, 2 u^{3}, 1$

Bước 2.4.2.2

Since $2, 2 u^{3}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $2, 2, 1$ then find LCM for the variable part $u^{3}$ .

Bước 2.4.2.3

BCNN là số dương nhỏ nhất mà tất cả các số chia đều cho nó.

1. Liệt kê các thừa số nguyên tố của từng số.

2. Nhân mỗi thừa số với số lần xuất hiện nhiều nhất của nó ở một trong các số.

Bước 2.4.2.4

Vì $2$ không có thừa số nào ngoài $1$ và $2$ .

$2$ là một số nguyên tố

Bước 2.4.2.5

Số $1$ không phải là một số nguyên tố vì nó chỉ có một thừa số dương, cũng là chính nó.

Không phải là số nguyên tố

Bước 2.4.2.6

BCNN của $2, 2, 1$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số nguyên tố với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số.

$2$

Bước 2.4.2.7

Các thừa số cho $u^{3}$ là $u \cdot u \cdot u$ , chính là $u$ nhân với nhau $3$ lần.

$u^{3} = u \cdot u \cdot u$

$u$ xảy ra $3$ lần.

Bước 2.4.2.8

BCNN của $u^{3}$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số nguyên tố với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số hạng.

$u \cdot u \cdot u$

Bước 2.4.2.9

Rút gọn $u \cdot u \cdot u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.9.1

Nhân $u$ với $u$ .

$u^{2} \cdot u$

Bước 2.4.2.9.2

Nhân $u^{2}$ với $u$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.9.2.1

Nhân $u^{2}$ với $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.9.2.1.1

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$u^{2} \cdot u^{1}$

Bước 2.4.2.9.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$u^{2 + 1}$

Bước 2.4.2.9.2.2

Cộng $2$ và $1$ .

$u^{3}$

Bước 2.4.2.10

BCNN cho $2, 2 u^{3}, 1$ là phần số $2$ nhân với phần biến.

$2 u^{3}$

Bước 2.4.3

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{3 u}{2} - \frac{15}{2 u^{3}} = 0$ với $2 u^{3}$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{3 u}{2} - \frac{15}{2 u^{3}} = 0$ với $2 u^{3}$ .

$\frac{3 u}{2} (2 u^{3}) - \frac{15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Bước 2.4.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.2.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$2 \frac{3 u}{2} u^{3} - \frac{15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Bước 2.4.3.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{3 u}{2} u^{3} - \frac{15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Bước 2.4.3.2.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$3 u \cdot u^{3} - \frac{15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Bước 2.4.3.2.1.3

Nhân $u$ với $u^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.2.1.3.1

Di chuyển $u^{3}$ .

$3 (u^{3} u) - \frac{15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Bước 2.4.3.2.1.3.2

Nhân $u^{3}$ với $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.2.1.3.2.1

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$3 (u^{3} u^{1}) - \frac{15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Bước 2.4.3.2.1.3.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$3 u^{3 + 1} - \frac{15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Bước 2.4.3.2.1.3.3

Cộng $3$ và $1$ .

$3 u^{4} - \frac{15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Bước 2.4.3.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2 u^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.2.1.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{15}{2 u^{3}}$ vào tử số.

$3 u^{4} + \frac{- 15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Bước 2.4.3.2.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 u^{4} + \frac{- 15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Bước 2.4.3.2.1.4.3

Viết lại biểu thức.

$3 u^{4} - 15 = 0 (2 u^{3})$

Bước 2.4.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.3.1

Nhân $0 (2 u^{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.3.1.1

Nhân $2$ với $0$ .

$3 u^{4} - 15 = 0 u^{3}$

Bước 2.4.3.3.1.2

Nhân $0$ với $u^{3}$ .

$3 u^{4} - 15 = 0$

Bước 2.4.4

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.1

Cộng $15$ cho cả hai vế của phương trình.

$3 u^{4} = 15$

Bước 2.4.4.2

Chia mỗi số hạng trong $3 u^{4} = 15$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.2.1

Chia mỗi số hạng trong $3 u^{4} = 15$ cho $3$ .

$\frac{3 u^{4}}{3} = \frac{15}{3}$

Bước 2.4.4.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 u^{4}}{3} = \frac{15}{3}$

Bước 2.4.4.2.2.1.2

Chia $u^{4}$ cho $1$ .

$u^{4} = \frac{15}{3}$

Bước 2.4.4.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.2.3.1

Chia $15$ cho $3$ .

$u^{4} = 5$

Bước 2.4.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt[4]{5}$

Bước 2.4.4.4

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.4.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$u = \sqrt[4]{5}$

Bước 2.4.4.4.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$u = - \sqrt[4]{5}$

Bước 2.4.4.4.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$u = \sqrt[4]{5}, - \sqrt[4]{5}$

Bước 2.5

Thay $x$ bằng $u$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[4]{5}, - \sqrt[4]{5}$

Bước 2.6

Giải tìm $x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[4]{5}$ cho $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Lấy mũ lũy thừa $2$ hai vế để khử mũ phân số vế bên trái.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt[4]{5}}^{2}$

Bước 2.6.2

Rút gọn biểu thức mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.1.1

Rút gọn ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.1.1.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.1.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt[4]{5}}^{2}$

Bước 2.6.2.1.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.1.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt[4]{5}}^{2}$

Bước 2.6.2.1.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$x^{1} = {\sqrt[4]{5}}^{2}$

Bước 2.6.2.1.1.2

Rút gọn.

$x = {\sqrt[4]{5}}^{2}$

Bước 2.6.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.2.1

Viết lại ${\sqrt[4]{5}}^{2}$ ở dạng $\sqrt{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.2.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[4]{5}$ ở dạng $5^{\frac{1}{4}}$ .

$x = {(5^{\frac{1}{4}})}^{2}$

Bước 2.6.2.2.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 5^{\frac{1}{4} \cdot 2}$

Bước 2.6.2.2.1.3

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $2$ .

$x = 5^{\frac{2}{4}}$

Bước 2.6.2.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.2.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$x = 5^{\frac{2 (1)}{4}}$

Bước 2.6.2.2.1.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.2.1.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$x = 5^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Bước 2.6.2.2.1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = 5^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Bước 2.6.2.2.1.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$x = 5^{\frac{1}{2}}$

Bước 2.6.2.2.1.5

Viết lại $5^{\frac{1}{2}}$ ở dạng $\sqrt{5}$ .

$x = \sqrt{5}$

Bước 2.7

Liệt kê tất cả các đáp án.

$x = \sqrt{5}, \sqrt{5}$

Bước 3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Chuyển đổi các biểu thức có số mũ dạng phân số thành các căn thức

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$\frac{3 \sqrt{x^{1}}}{2} - \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Bước 3.1.2

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$\frac{3 \sqrt{x^{1}}}{2} - \frac{15 \sqrt{x^{3}}}{2}$

Bước 3.1.3

Bất kỳ đại lượng nào mũ $1$ lên đều là chính nó.

$\frac{3 \sqrt{x}}{2} - \frac{15 \sqrt{x^{3}}}{2}$

Bước 3.2

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{x}$ nhỏ hơn $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x < 0$

Bước 3.3

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{x^{3}}$ nhỏ hơn $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x^{3} < 0$

Bước 3.4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Bước 3.4.2

Rút gọn phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.1

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x < \sqrt[3]{0}$

Bước 3.4.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.2.1

Rút gọn $\sqrt[3]{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.2.1.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Bước 3.4.2.2.1.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x < 0$

Bước 3.5

Phương trình không xác định tại mẫu số bằng $0$ , đối số của một căn bậc hai nhỏ hơn $0$ , hoặc đối số của một logarit nhỏ hơn hoặc bằng $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Bước 4

Tính $x^{\frac{3}{2}} - 3 x^{\frac{5}{2}}$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giá trị tại $x = \sqrt{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay $\sqrt{5}$ bằng $x$ .

${(\sqrt{5})}^{\frac{3}{2}} - 3 {(\sqrt{5})}^{\frac{5}{2}}$

Bước 4.1.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

${\sqrt{5}}^{\frac{3}{2}} - 3 {\sqrt{5}}^{\frac{5}{2}}$

Bước 4.2

Liệt kê tất cả các điểm.

$(\sqrt{5}, {\sqrt{5}}^{\frac{3}{2}} - 3 {\sqrt{5}}^{\frac{5}{2}})$

Bước 5