Giải tích Ví dụ

${(3 (\cos (30 °) + i \sin (30 °)))}^{2}$

Bước 1

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Giá trị chính xác của $\cos (30 °)$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(3 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (30 °)))}^{2}$

Bước 1.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (30 °)$ là $\frac{1}{2}$ .

${(3 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2}))}^{2}$

Bước 1.1.3

Kết hợp $i$ và $\frac{1}{2}$ .

${(3 (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}))}^{2}$

Bước 1.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

${(3 \frac{\sqrt{3}}{2} + 3 \frac{i}{2})}^{2}$

Bước 1.2.2

Kết hợp $3$ và $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(\frac{3 \sqrt{3}}{2} + 3 \frac{i}{2})}^{2}$

Bước 1.2.3

Kết hợp $3$ và $\frac{i}{2}$ .

${(\frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2})}^{2}$

Bước 1.2.4

Viết lại ${(\frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2})}^{2}$ ở dạng $(\frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2}) (\frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2})$ .

$(\frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2}) (\frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2})$

Bước 2

Khai triển $(\frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2}) (\frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2})$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 \sqrt{3}}{2} (\frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2}) + \frac{3 i}{2} (\frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2})$

Bước 2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 i}{2} + \frac{3 i}{2} (\frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2})$

Bước 2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 i}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Bước 3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Nhân $\frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.1

Nhân $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ với $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{3} (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 2} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 i}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Bước 3.1.1.2

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{9 \sqrt{3} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 i}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Bước 3.1.1.3

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{9 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{2 \cdot 2} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 i}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Bước 3.1.1.4

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{9 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{2 \cdot 2} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 i}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Bước 3.1.1.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{9 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 i}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Bước 3.1.1.6

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{9 {\sqrt{3}}^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 i}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Bước 3.1.1.7

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{9 {\sqrt{3}}^{2}}{4} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 i}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Bước 3.1.2

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 i}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Bước 3.1.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 i}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Bước 3.1.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{9 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{4} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 i}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Bước 3.1.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{9 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{4} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 i}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Bước 3.1.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{9 \cdot 3^{1}}{4} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 i}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Bước 3.1.2.5

Tính số mũ.

$\frac{9 \cdot 3}{4} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 i}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Bước 3.1.3

Nhân $9$ với $3$ .

$\frac{27}{4} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 i}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Bước 3.1.4

Nhân $\frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.4.1

Nhân $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ với $\frac{3 i}{2}$ .

$\frac{27}{4} + \frac{3 \sqrt{3} (3 i)}{2 \cdot 2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Bước 3.1.4.2

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{27}{4} + \frac{9 \sqrt{3} i}{2 \cdot 2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Bước 3.1.4.3

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{27}{4} + \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Bước 3.1.5

Nhân $\frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.5.1

Nhân $\frac{3 i}{2}$ với $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{27}{4} + \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{3 i (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Bước 3.1.5.2

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{27}{4} + \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9 i \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Bước 3.1.5.3

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{27}{4} + \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9 i \sqrt{3}}{4} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Bước 3.1.6

Nhân $\frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.6.1

Nhân $\frac{3 i}{2}$ với $\frac{3 i}{2}$ .

$\frac{27}{4} + \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9 i \sqrt{3}}{4} + \frac{3 i (3 i)}{2 \cdot 2}$

Bước 3.1.6.2

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{27}{4} + \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9 i \sqrt{3}}{4} + \frac{9 i i}{2 \cdot 2}$

Bước 3.1.6.3

Nâng $i$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{27}{4} + \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9 i \sqrt{3}}{4} + \frac{9 (i^{1} i)}{2 \cdot 2}$

Bước 3.1.6.4

Nâng $i$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{27}{4} + \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9 i \sqrt{3}}{4} + \frac{9 (i^{1} i^{1})}{2 \cdot 2}$

Bước 3.1.6.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{27}{4} + \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9 i \sqrt{3}}{4} + \frac{9 i^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.1.6.6

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{27}{4} + \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9 i \sqrt{3}}{4} + \frac{9 i^{2}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.1.6.7

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{27}{4} + \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9 i \sqrt{3}}{4} + \frac{9 i^{2}}{4}$

Bước 3.1.7

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$\frac{27}{4} + \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9 i \sqrt{3}}{4} + \frac{9 \cdot - 1}{4}$

Bước 3.1.8

Nhân $9$ với $- 1$ .

$\frac{27}{4} + \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9 i \sqrt{3}}{4} + \frac{- 9}{4}$

Bước 3.1.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{27}{4} + \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9 i \sqrt{3}}{4} - \frac{9}{4}$

Bước 3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{27 - 9}{4} + \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9 i \sqrt{3}}{4}$

Bước 3.3

Trừ $9$ khỏi $27$ .

$\frac{18}{4} + \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9 i \sqrt{3}}{4}$

Bước 3.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{18}{4} + \frac{9 i \sqrt{3}}{4} + \frac{9 i \sqrt{3}}{4}$

Bước 3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{18}{4} + \frac{18 i \sqrt{3}}{4}$

Bước 4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Triệt tiêu thừa số chung của $18$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $18$ .

$\frac{2 (9)}{4} + \frac{18 i \sqrt{3}}{4}$

Bước 4.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2} + \frac{18 i \sqrt{3}}{4}$

Bước 4.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2} + \frac{18 i \sqrt{3}}{4}$

Bước 4.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{9}{2} + \frac{18 i \sqrt{3}}{4}$

Bước 4.2

Triệt tiêu thừa số chung của $18$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $18 i \sqrt{3}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{2 (9 i \sqrt{3})}{4}$

Bước 4.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{9}{2} + \frac{2 (9 i \sqrt{3})}{2 (2)}$

Bước 4.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{9}{2} + \frac{2 (9 i \sqrt{3})}{2 \cdot 2}$

Bước 4.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{9}{2} + \frac{9 i \sqrt{3}}{2}$