Giải tích Ví dụ

$x = y^{2}$ , $x = 14 y - y^{2}$

Bước 1

Để tìm thể tích của vật rắn, trước tiên hãy xác định diện tích của mỗi lát cắt sau đó lấy tích phân trên khoảng biến thiên. Diện tích của mỗi lát cắt là diện tích của một đường tròn có bán kính $f (y)$ và $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{7} {(f (y))}^{2} - {(g (y))}^{2} d y$ trong đó $f (y) = - y^{2} + 14 y$ và $g (y) = y^{2}$

Bước 2

Rút gọn hàm được tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Viết lại ${(- y^{2} + 14 y)}^{2}$ ở dạng $(- y^{2} + 14 y) (- y^{2} + 14 y)$ .

$V = (- y^{2} + 14 y) (- y^{2} + 14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Bước 2.1.2

Khai triển $(- y^{2} + 14 y) (- y^{2} + 14 y)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$V = - y^{2} (- y^{2} + 14 y) + 14 y (- y^{2} + 14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Bước 2.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$V = - y^{2} (- y^{2}) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2} + 14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Bước 2.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$V = - y^{2} (- y^{2}) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Bước 2.1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$V = - 1 \cdot (- 1 y^{2} y^{2}) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Bước 2.1.3.1.2

Nhân $y^{2}$ với $y^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1.2.1

Di chuyển $y^{2}$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 (y^{2} y^{2})) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Bước 2.1.3.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$V = - 1 \cdot (- 1 y^{2 + 2}) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Bước 2.1.3.1.2.3

Cộng $2$ và $2$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 y^{4}) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Bước 2.1.3.1.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$V = 1 y^{4} - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Bước 2.1.3.1.4

Nhân $y^{4}$ với $1$ .

$V = y^{4} - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Bước 2.1.3.1.5

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$V = y^{4} - 1 \cdot (14 y^{2} y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Bước 2.1.3.1.6

Nhân $y^{2}$ với $y$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1.6.1

Di chuyển $y$ .

$V = y^{4} - 1 \cdot (14 (y \cdot y^{2})) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Bước 2.1.3.1.6.2

Nhân $y$ với $y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1.6.2.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$V = y^{4} - 1 \cdot (14 (y \cdot y^{2})) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Bước 2.1.3.1.6.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$V = y^{4} - 1 \cdot (14 y^{1 + 2}) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Bước 2.1.3.1.6.3

Cộng $1$ và $2$ .

$V = y^{4} - 1 \cdot (14 y^{3}) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Bước 2.1.3.1.7

Nhân $- 1$ với $14$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Bước 2.1.3.1.8

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 \cdot (- 1 y \cdot y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Bước 2.1.3.1.9

Nhân $y$ với $y^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1.9.1

Di chuyển $y^{2}$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 \cdot (- 1 (y^{2} y)) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Bước 2.1.3.1.9.2

Nhân $y^{2}$ với $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1.9.2.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 \cdot (- 1 (y^{2} y)) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Bước 2.1.3.1.9.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 \cdot (- 1 y^{2 + 1}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Bước 2.1.3.1.9.3

Cộng $2$ và $1$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 \cdot (- 1 y^{3}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Bước 2.1.3.1.10

Nhân $14$ với $- 1$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} - 14 y^{3} + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Bước 2.1.3.1.11

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$V = y^{4} - 14 y^{3} - 14 y^{3} + 14 \cdot (14 y \cdot y) - {(y^{2})}^{2}$

Bước 2.1.3.1.12

Nhân $y$ với $y$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1.12.1

Di chuyển $y$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} - 14 y^{3} + 14 \cdot (14 (y \cdot y)) - {(y^{2})}^{2}$

Bước 2.1.3.1.12.2

Nhân $y$ với $y$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} - 14 y^{3} + 14 \cdot (14 y^{2}) - {(y^{2})}^{2}$

Bước 2.1.3.1.13

Nhân $14$ với $14$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} - 14 y^{3} + 196 y^{2} - {(y^{2})}^{2}$

Bước 2.1.3.2

Trừ $14 y^{3}$ khỏi $- 14 y^{3}$ .

$V = y^{4} - 28 y^{3} + 196 y^{2} - {(y^{2})}^{2}$

Bước 2.1.4

Nhân các số mũ trong ${(y^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = y^{4} - 28 y^{3} + 196 y^{2} - y^{2 \cdot 2}$

Bước 2.1.4.2

Nhân $2$ với $2$ .

$V = y^{4} - 28 y^{3} + 196 y^{2} - y^{4}$

Bước 2.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $y^{4} - 28 y^{3} + 196 y^{2} - y^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Trừ $y^{4}$ khỏi $y^{4}$ .

$V = - 28 y^{3} + 196 y^{2} + 0$

Bước 2.2.2

Cộng $- 28 y^{3} + 196 y^{2}$ và $0$ .

$V = - 28 y^{3} + 196 y^{2}$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$V = π (\int_{0}^{7} - 28 y^{3} d y + \int_{0}^{7} 196 y^{2} d y)$

Bước 4

Vì $- 28$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 28$ ra khỏi tích phân.

$V = π (- 28 \int_{0}^{7} y^{3} d y + \int_{0}^{7} 196 y^{2} d y)$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{3}$ đối với $y$ là $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$V = π (- 28 (\frac{1}{4} y^{4}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} 196 y^{2} d y)$

Bước 6

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $y^{4}$ .

$V = π (- 28 (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} 196 y^{2} d y)$

Bước 7

Vì $196$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $196$ ra khỏi tích phân.

$V = π (- 28 (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{7}) + 196 \int_{0}^{7} y^{2} d y)$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$V = π (- 28 (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{7}) + 196 (\frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{7}))$

Bước 9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $y^{3}$ .

$V = π (- 28 (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{7}) + 196 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{7}))$

Bước 9.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Tính $\frac{y^{4}}{4}$ tại $7$ và tại $0$ .

$V = π (- 28 ((\frac{7^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) + 196 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{7}))$

Bước 9.2.2

Tính $\frac{y^{3}}{3}$ tại $7$ và tại $0$ .

$V = π (- 28 (\frac{7^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 9.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.1

Nâng $7$ lên lũy thừa $4$ .

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 9.2.3.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{0}{4}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 9.2.3.3

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $0$ .

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{4 (0)}{4}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 9.2.3.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.3.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 9.2.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 9.2.3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{0}{1}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 9.2.3.3.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - 0) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 9.2.3.4

Nhân $- 1$ với $0$ .

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} + 0) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 9.2.3.5

Cộng $\frac{2401}{4}$ và $0$ .

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 9.2.3.6

Kết hợp $- 28$ và $\frac{2401}{4}$ .

$V = π (\frac{- 28 \cdot 2401}{4} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 9.2.3.7

Nhân $- 28$ với $2401$ .

$V = π (\frac{- 67228}{4} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 9.2.3.8

Triệt tiêu thừa số chung của $- 67228$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.8.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 67228$ .

$V = π (\frac{4 \cdot - 16807}{4} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 9.2.3.8.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.8.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$V = π (\frac{4 \cdot - 16807}{4 (1)} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 9.2.3.8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$V = π (\frac{4 \cdot - 16807}{4 \cdot 1} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 9.2.3.8.2.3

Viết lại biểu thức.

$V = π (\frac{- 16807}{1} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 9.2.3.8.2.4

Chia $- 16807$ cho $1$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 9.2.3.9

Nâng $7$ lên lũy thừa $3$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 9.2.3.10

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{0}{3}))$

Bước 9.2.3.11

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.11.1

Đưa $3$ ra ngoài $0$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Bước 9.2.3.11.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.11.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Bước 9.2.3.11.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Bước 9.2.3.11.2.3

Viết lại biểu thức.

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{0}{1}))$

Bước 9.2.3.11.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - 0))$

Bước 9.2.3.12

Nhân $- 1$ với $0$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} + 0))$

Bước 9.2.3.13

Cộng $\frac{343}{3}$ và $0$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3}))$

Bước 9.2.3.14

Kết hợp $196$ và $\frac{343}{3}$ .

$V = π (- 16807 + \frac{196 \cdot 343}{3})$

Bước 9.2.3.15

Nhân $196$ với $343$ .

$V = π (- 16807 + \frac{67228}{3})$

Bước 9.2.3.16

Để viết $- 16807$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$V = π (- 16807 \cdot \frac{3}{3} + \frac{67228}{3})$

Bước 9.2.3.17

Kết hợp $- 16807$ và $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{- 16807 \cdot 3}{3} + \frac{67228}{3})$

Bước 9.2.3.18

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$V = π (\frac{- 16807 \cdot 3 + 67228}{3})$

Bước 9.2.3.19

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.19.1

Nhân $- 16807$ với $3$ .

$V = π (\frac{- 50421 + 67228}{3})$

Bước 9.2.3.19.2

Cộng $- 50421$ và $67228$ .

$V = π (\frac{16807}{3})$

Bước 9.2.3.20

Kết hợp $π$ và $\frac{16807}{3}$ .

$V = \frac{π \cdot 16807}{3}$

Bước 9.2.3.21

Di chuyển $16807$ sang phía bên trái của $π$ .

$V = \frac{16807 π}{3}$

Bước 10

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$V = \frac{16807 π}{3}$

Dạng thập phân:

$V = 17600.24924296 \dots$

Bước 11