Giải tích Ví dụ

$s = t^{4} \tan (t) - \sqrt{t}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{t}$ ở dạng $t^{\frac{1}{2}}$ .

$s = t^{4} \tan (t) - t^{\frac{1}{2}}$

Bước 2

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (t^{4} \tan (t) - t^{\frac{1}{2}})$

Bước 3

Đạo hàm của $s$ đối với $t$ là $s'$ .

$s'$

Bước 4

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $t^{4} \tan (t) - t^{\frac{1}{2}}$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [t^{4} \tan (t)] + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{4} \tan (t)] + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.2

Tính $\frac{d}{d t} [t^{4} \tan (t)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ là $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ trong đó $f (t) = t^{4}$ và $g (t) = \tan (t)$ .

$t^{4} \frac{d}{d t} [\tan (t)] + \tan (t) \frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.2.2

Đạo hàm của $\tan (t)$ đối với $t$ là $\sec^{2} (t)$ .

$t^{4} \sec^{2} (t) + \tan (t) \frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$t^{4} \sec^{2} (t) + \tan (t) (4 t^{3}) + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.3

Tính $\frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- t^{\frac{1}{2}}$ đối với $t$ là $- \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$t^{4} \sec^{2} (t) + \tan (t) (4 t^{3}) - \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$t^{4} \sec^{2} (t) + \tan (t) (4 t^{3}) - (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})$

Bước 4.3.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$t^{4} \sec^{2} (t) + \tan (t) (4 t^{3}) - (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 4.3.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$t^{4} \sec^{2} (t) + \tan (t) (4 t^{3}) - (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 4.3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$t^{4} \sec^{2} (t) + \tan (t) (4 t^{3}) - (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 4.3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$t^{4} \sec^{2} (t) + \tan (t) (4 t^{3}) - (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})$

Bước 4.3.6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$t^{4} \sec^{2} (t) + \tan (t) (4 t^{3}) - (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})$

Bước 4.3.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$t^{4} \sec^{2} (t) + \tan (t) (4 t^{3}) - (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})$

Bước 4.3.8

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$t^{4} \sec^{2} (t) + \tan (t) (4 t^{3}) - \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 4.3.9

Di chuyển $t^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$t^{4} \sec^{2} (t) + \tan (t) (4 t^{3}) - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$t^{4} \sec^{2} (t) + 4 t^{3} \tan (t) - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$s' = t^{4} \sec^{2} (t) + 4 t^{3} \tan (t) - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Bước 6

Thay thế $s'$ bằng $\frac{d s}{d t}$ .

$\frac{d s}{d t} = t^{4} \sec^{2} (t) + 4 t^{3} \tan (t) - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$