Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (x)}{5 x^{3}}$

Bước 1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 \tan (x)}{lim_{x \to 0} 5 x^{3}}$

Bước 1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} 5 x^{3}}$

Bước 1.2.1.2

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì tang liên tục.

$\frac{2 \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 5 x^{3}}$

Bước 1.2.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{2 \tan (0)}{lim_{x \to 0} 5 x^{3}}$

Bước 1.2.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Giá trị chính xác của $\tan (0)$ là $0$ .

$\frac{2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 5 x^{3}}$

Bước 1.2.3.2

Nhân $2$ với $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 5 x^{3}}$

Bước 1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Chuyển số hạng $5$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{0}{5 lim_{x \to 0} x^{3}}$

Bước 1.3.1.2

Đưa số mũ $3$ từ $x^{3}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{0}{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Bước 1.3.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{0}{5 \cdot 0^{3}}$

Bước 1.3.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{0}{5 \cdot 0}$

Bước 1.3.3.2

Nhân $5$ với $0$ .

$\frac{0}{0}$

Bước 1.3.3.3

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 1.3.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 2

Vì $\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (x)}{5 x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [5 x^{3}]}$

Bước 3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [5 x^{3}]}$

Bước 3.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 \tan (x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [5 x^{3}]}$

Bước 3.3

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [5 x^{3}]}$

Bước 3.4

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x^{3}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x)}{5 \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x)}{5 (3 x^{2})}$

Bước 3.6

Nhân $3$ với $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x)}{15 x^{2}}$

Bước 4

Vì tử số dương và mẫu số $15 x^{2}$ tiến dần đến 0 và lớn hơn 0 đối với $x$ gần $0$ ở cả hai bên, nên hàm số tăng mà không bị giới hạn.

$\infty$