Giải tích Ví dụ

$y = (z^{2} + e^{z}) \sqrt{z}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{z}$ ở dạng $z^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d z} [(z^{2} + e^{z}) z^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ là $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ trong đó $f (z) = z^{2} + e^{z}$ và $g (z) = z^{\frac{1}{2}}$ .

$(z^{2} + e^{z}) \frac{d}{d z} [z^{\frac{1}{2}}] + z^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d z} [z^{2} + e^{z}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ là $n z^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$(z^{2} + e^{z}) (\frac{1}{2} z^{\frac{1}{2} - 1}) + z^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d z} [z^{2} + e^{z}]$

Bước 4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$(z^{2} + e^{z}) (\frac{1}{2} z^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + z^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d z} [z^{2} + e^{z}]$

Bước 5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$(z^{2} + e^{z}) (\frac{1}{2} z^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + z^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d z} [z^{2} + e^{z}]$

Bước 6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$(z^{2} + e^{z}) (\frac{1}{2} z^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + z^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d z} [z^{2} + e^{z}]$

Bước 7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$(z^{2} + e^{z}) (\frac{1}{2} z^{\frac{1 - 2}{2}}) + z^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d z} [z^{2} + e^{z}]$

Bước 7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$(z^{2} + e^{z}) (\frac{1}{2} z^{\frac{- 1}{2}}) + z^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d z} [z^{2} + e^{z}]$

Bước 8

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$(z^{2} + e^{z}) (\frac{1}{2} z^{- \frac{1}{2}}) + z^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d z} [z^{2} + e^{z}]$

Bước 8.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $z^{- \frac{1}{2}}$ .

$(z^{2} + e^{z}) \frac{z^{- \frac{1}{2}}}{2} + z^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d z} [z^{2} + e^{z}]$

Bước 8.2.2

Di chuyển $z^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(z^{2} + e^{z}) \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d z} [z^{2} + e^{z}]$

Bước 8.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $z^{2} + e^{z}$ đối với $z$ là $\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [e^{z}]$ .

$(z^{2} + e^{z}) \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [e^{z}])$

Bước 8.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ là $n z^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$(z^{2} + e^{z}) \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} (2 z + \frac{d}{d z} [e^{z}])$

Bước 9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d z} [a^{z}]$ là $a^{z} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$(z^{2} + e^{z}) \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} (2 z + e^{z})$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$z^{2} \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + e^{z} \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} (2 z + e^{z})$

Bước 10.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$z^{2} \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + e^{z} \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} (2 z) + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

Bước 10.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Kết hợp $z^{2}$ và $\frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{z^{2}}{2 z^{\frac{1}{2}}} + e^{z} \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} (2 z) + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

Bước 10.3.2

Di chuyển $z^{\frac{1}{2}}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{z^{2} z^{- \frac{1}{2}}}{2} + e^{z} \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} (2 z) + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

Bước 10.3.3

Nhân $z^{2}$ với $z^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.3.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{z^{2 - \frac{1}{2}}}{2} + e^{z} \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} (2 z) + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

Bước 10.3.3.2

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{z^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + e^{z} \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} (2 z) + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

Bước 10.3.3.3

Kết hợp $2$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{z^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + e^{z} \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} (2 z) + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

Bước 10.3.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{z^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}}{2} + e^{z} \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} (2 z) + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

Bước 10.3.3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.3.5.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{z^{\frac{4 - 1}{2}}}{2} + e^{z} \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} (2 z) + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

Bước 10.3.3.5.2

Trừ $1$ khỏi $4$ .

$\frac{z^{\frac{3}{2}}}{2} + e^{z} \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} (2 z) + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

Bước 10.3.4

Kết hợp $e^{z}$ và $\frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{z^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{e^{z}}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} (2 z) + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

Bước 10.3.5

Nhân $z^{\frac{1}{2}}$ với $z$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.5.1

Di chuyển $z$ .

$\frac{z^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{e^{z}}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z \cdot z^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

Bước 10.3.5.2

Nhân $z$ với $z^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.5.2.1

Nâng $z$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{z^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{e^{z}}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{1} z^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

Bước 10.3.5.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{z^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{e^{z}}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{1 + \frac{1}{2}} \cdot 2 + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

Bước 10.3.5.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{z^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{e^{z}}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

Bước 10.3.5.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{z^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{e^{z}}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{2 + 1}{2}} \cdot 2 + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

Bước 10.3.5.5

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{z^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{e^{z}}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

Bước 10.3.6

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $z^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{z^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{e^{z}}{2 z^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot z^{\frac{3}{2}} + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

Bước 10.3.7

Để viết $2 z^{\frac{3}{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{z^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 z^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{z}}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

Bước 10.3.8

Kết hợp $2 z^{\frac{3}{2}}$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{z^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 z^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{e^{z}}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

Bước 10.3.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{z^{\frac{3}{2}} + 2 z^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{e^{z}}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

Bước 10.3.10

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{z^{\frac{3}{2}} + 4 z^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{e^{z}}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

Bước 10.3.11

Cộng $z^{\frac{3}{2}}$ và $4 z^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{5 z^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{e^{z}}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

Bước 10.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$e^{z} z^{\frac{1}{2}} + \frac{5 z^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{e^{z}}{2 z^{\frac{1}{2}}}$