Giải tích Ví dụ

$f (x) = 4 x - 2 x^{- 2}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x - 2 x^{- 2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{- 2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{- 2})$

Bước 1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{- 2})$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2 x^{- 2})$

Bước 1.1.2.3

Nhân $4$ với $1$ .

$f' (x) = 4 + \frac{d}{d x} (- 2 x^{- 2})$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 x^{- 2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x^{- 2}$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$f' (x) = 4 - 2 \frac{d}{d x} x^{- 2}$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 2$ .

$f' (x) = 4 - 2 (- 2 x^{- 3})$

Bước 1.1.3.3

Nhân $- 2$ với $- 2$ .

$f' (x) = 4 + 4 x^{- 3}$

Bước 1.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = 4 x^{- 3} + 4$

Bước 1.1.4.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.2.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 4 (\frac{1}{x^{3}}) + 4$

Bước 1.1.4.2.2

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = \frac{4}{x^{3}} + 4$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{4}{x^{3}} + 4$ .

$\frac{4}{x^{3}} + 4$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{4}{x^{3}} + 4 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{4}{x^{3}} + 4 = 0$

Bước 2.2

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{4}{x^{3}} = - 4$

Bước 2.3

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$x^{3}, 1$

Bước 2.3.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$x^{3}$

Bước 2.4

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{4}{x^{3}} = - 4$ với $x^{3}$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{4}{x^{3}} = - 4$ với $x^{3}$ .

$\frac{4}{x^{3}} x^{3} = - 4 x^{3}$

Bước 2.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4}{x^{3}} x^{3} = - 4 x^{3}$

Bước 2.4.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$4 = - 4 x^{3}$

Bước 2.5

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $- 4 x^{3} = 4$ .

$- 4 x^{3} = 4$

Bước 2.5.2

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 4 x^{3} - 4 = 0$

Bước 2.5.3

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.3.1

Đưa $- 4$ ra ngoài $- 4 x^{3} - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.3.1.1

Đưa $- 4$ ra ngoài $- 4 x^{3}$ .

$- 4 x^{3} - 4 = 0$

Bước 2.5.3.1.2

Đưa $- 4$ ra ngoài $- 4$ .

$- 4 x^{3} - 4 \cdot 1 = 0$

Bước 2.5.3.1.3

Đưa $- 4$ ra ngoài $- 4 (x^{3}) - 4 (1)$ .

$- 4 (x^{3} + 1) = 0$

Bước 2.5.3.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{3}$ .

$- 4 (x^{3} + 1^{3}) = 0$

Bước 2.5.3.3

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức tổng các lập phương, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ với $a = x$ và $b = 1$ .

$- 4 ((x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Bước 2.5.3.4

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.3.4.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.3.4.1.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 4 ((x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})) = 0$

Bước 2.5.3.4.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- 4 ((x + 1) (x^{2} - x + 1)) = 0$

Bước 2.5.3.4.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$- 4 (x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$

Bước 2.5.4

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x + 1 = 0$

$x^{2} - x + 1 = 0$

Bước 2.5.5

Đặt $x + 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.5.1

Đặt $x + 1$ bằng với $0$ .

$x + 1 = 0$

Bước 2.5.5.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 1$

Bước 2.5.6

Đặt $x^{2} - x + 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.6.1

Đặt $x^{2} - x + 1$ bằng với $0$ .

$x^{2} - x + 1 = 0$

Bước 2.5.6.2

Giải $x^{2} - x + 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.6.2.1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 2.5.6.2.2

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = - 1$ , và $c = 1$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.6.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.6.2.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.6.2.3.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.6.2.3.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.6.2.3.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.6.2.3.1.2.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.6.2.3.1.3

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.6.2.3.1.4

Viết lại $- 3$ ở dạng $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.6.2.3.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (3)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.6.2.3.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.6.2.3.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.5.6.2.4

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.6.2.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.6.2.4.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.6.2.4.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.6.2.4.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.6.2.4.1.2.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.6.2.4.1.3

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.6.2.4.1.4

Viết lại $- 3$ ở dạng $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.6.2.4.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (3)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.6.2.4.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.6.2.4.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.5.6.2.4.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.5.6.2.5

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.6.2.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.6.2.5.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.6.2.5.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.6.2.5.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.6.2.5.1.2.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.6.2.5.1.3

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.6.2.5.1.4

Viết lại $- 3$ ở dạng $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.6.2.5.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (3)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.6.2.5.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.6.2.5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.5.6.2.5.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.5.6.2.6

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.5.7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $- 4 (x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$ đúng.

$x = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Bước 3

Các giá trị làm cho đạo hàm bằng $0$ là $- 1$ .

$- 1$

Bước 4

Tìm nơi đạo hàm không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đặt mẫu số trong $\frac{4}{x^{3}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x^{3} = 0$

Bước 4.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Bước 4.2.2

Rút gọn $\sqrt[3]{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Bước 4.2.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$x = 0$

Bước 5

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, - 1)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 2$ trong biểu thức.

$f' (- 2) = \frac{4}{{(- 2)}^{3}} + 4$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (- 2) = \frac{4}{- 8} + 4$

Bước 6.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $- 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$f' (- 2) = \frac{4 (1)}{- 8} + 4$

Bước 6.2.1.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 8$ .

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot - 2} + 4$

Bước 6.2.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot - 2} + 4$

Bước 6.2.1.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$f' (- 2) = \frac{1}{- 2} + 4$

Bước 6.2.1.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (- 2) = - \frac{1}{2} + 4$

Bước 6.2.2

Để viết $4$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f' (- 2) = - \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2}$

Bước 6.2.3

Kết hợp $4$ và $\frac{2}{2}$ .

$f' (- 2) = - \frac{1}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2}$

Bước 6.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (- 2) = \frac{- 1 + 4 \cdot 2}{2}$

Bước 6.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.5.1

Nhân $4$ với $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 1 + 8}{2}$

Bước 6.2.5.2

Cộng $- 1$ và $8$ .

$f' (- 2) = \frac{7}{2}$

Bước 6.2.6

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{7}{2}$ .

$\frac{7}{2}$

Bước 6.3

Tại $x = - 2$ đạo hàm là $\frac{7}{2}$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(- \infty, - 1)$ .

Tăng trên $(- \infty, - 1)$ vì $f' (x) > 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(- 1, 0)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $- \frac{1}{2}$ trong biểu thức.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{{(- \frac{1}{2})}^{3}} + 4$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{{(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}} + 4$

Bước 7.2.1.1.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{- {(\frac{1}{2})}^{3}} + 4$

Bước 7.2.1.1.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{- \frac{1^{3}}{2^{3}}} + 4$

Bước 7.2.1.1.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{- \frac{1}{2^{3}}} + 4$

Bước 7.2.1.1.5

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{- \frac{1}{8}} + 4$

Bước 7.2.1.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 (- 1 \cdot 8) + 4$

Bước 7.2.1.3

Nhân $4 (- 1 \cdot 8)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.3.1

Nhân $- 1$ với $8$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 \cdot - 8 + 4$

Bước 7.2.1.3.2

Nhân $4$ với $- 8$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - 32 + 4$

Bước 7.2.2

Cộng $- 32$ và $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - 28$

Bước 7.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 28$ .

$- 28$

Bước 7.3

Tại $x = - \frac{1}{2}$ đạo hàm là $- 28$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(- 1, 0)$ .

Giảm trên $(- 1, 0)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 8

Thay một giá trị từ khoảng $(0, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f' (1) = \frac{4}{{(1)}^{3}} + 4$

Bước 8.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f' (1) = \frac{4}{1} + 4$

Bước 8.2.1.2

Chia $4$ cho $1$ .

$f' (1) = 4 + 4$

Bước 8.2.2

Cộng $4$ và $4$ .

$f' (1) = 8$

Bước 8.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $8$ .

$8$

Bước 8.3

Tại $x = 1$ đạo hàm là $8$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(0, \infty)$ .

Tăng trên $(0, \infty)$ vì $f' (x) > 0$

Bước 9

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Tăng trên: $(- \infty, - 1), (0, \infty)$

Giảm trên: $(- 1, 0)$

Bước 10