Giải tích Ví dụ

$y = 1 - 25 x^{2}$ , $y = 0$

Bước 1

Giải bằng phương pháp thay thế để tìm phần giao giữa hai đường cong.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Loại bỏ các vế bằng nhau của mỗi phương trình sau đó kết hợp.

$1 - 25 x^{2} = 0$

Bước 1.2

Giải $1 - 25 x^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 25 x^{2} = - 1$

Bước 1.2.2

Chia mỗi số hạng trong $- 25 x^{2} = - 1$ cho $- 25$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- 25 x^{2} = - 1$ cho $- 25$ .

$\frac{- 25 x^{2}}{- 25} = \frac{- 1}{- 25}$

Bước 1.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 25$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 25 x^{2}}{- 25} = \frac{- 1}{- 25}$

Bước 1.2.2.2.1.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 25}$

Bước 1.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.3.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$x^{2} = \frac{1}{25}$

Bước 1.2.3

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{25}}$

Bước 1.2.4

Rút gọn $\pm \sqrt{\frac{1}{25}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Viết lại $\sqrt{\frac{1}{25}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}}$

Bước 1.2.4.2

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{25}}$

Bước 1.2.4.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.3.1

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{5^{2}}}$

Bước 1.2.4.3.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm \frac{1}{5}$

Bước 1.2.5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = \frac{1}{5}$

Bước 1.2.5.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - \frac{1}{5}$

Bước 1.2.5.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = \frac{1}{5}, - \frac{1}{5}$

Bước 1.3

Thay $\frac{1}{5}$ bằng $x$ .

$y = 0$

Bước 1.4

Đáp án cho hệ là tập hợp đầy đủ của các cặp có thứ tự cũng chính là các đáp án hợp lệ.

$(\frac{1}{5}, 0)$

$(- \frac{1}{5}, 0)$

$(\frac{1}{5}, 0)$

$(- \frac{1}{5}, 0)$

Bước 2

Sắp xếp lại $1$ và $- 25 x^{2}$ .

$y = - 25 x^{2} + 1$

Bước 3

Diện tích của vùng giữa các đường cong được xác định bằng tích phân của đường cong trên trừ đi tích phân của đường cong dưới trên mỗi vùng. Các vùng được xác định bởi các giao điểm của các đường cong. Điều này có thể được thực hiện theo phương pháp đại số hoặc phương pháp vẽ đồ thị.

$A r e a = \int_{- \frac{1}{5}}^{\frac{1}{5}} - 25 x^{2} + 1 d x - \int_{- \frac{1}{5}}^{\frac{1}{5}} 0 d x$

Bước 4

Lấy tích phân để tìm diện tích giữa $- \frac{1}{5}$ và $\frac{1}{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp các tích phân thành một tích phân.

$\int_{- \frac{1}{5}}^{\frac{1}{5}} - 25 x^{2} + 1 - (0) d x$

Bước 4.2

Trừ $0$ khỏi $- 25 x^{2} + 1$ .

$\int_{- \frac{1}{5}}^{\frac{1}{5}} - 25 x^{2} + 1 d x$

Bước 4.3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{- \frac{1}{5}}^{\frac{1}{5}} - 25 x^{2} d x + \int_{- \frac{1}{5}}^{\frac{1}{5}} d x$

Bước 4.4

Vì $- 25$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 25$ ra khỏi tích phân.

$- 25 \int_{- \frac{1}{5}}^{\frac{1}{5}} x^{2} d x + \int_{- \frac{1}{5}}^{\frac{1}{5}} d x$

Bước 4.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 25 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- \frac{1}{5}}^{\frac{1}{5}}) + \int_{- \frac{1}{5}}^{\frac{1}{5}} d x$

Bước 4.6

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$- 25 (\frac{x^{3}}{3}]_{- \frac{1}{5}}^{\frac{1}{5}}) + \int_{- \frac{1}{5}}^{\frac{1}{5}} d x$

Bước 4.7

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- 25 (\frac{x^{3}}{3}]_{- \frac{1}{5}}^{\frac{1}{5}}) + x]_{- \frac{1}{5}}^{\frac{1}{5}}$

Bước 4.8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1.1

Tính $\frac{x^{3}}{3}$ tại $\frac{1}{5}$ và tại $- \frac{1}{5}$ .

$- 25 ((\frac{{(\frac{1}{5})}^{3}}{3}) - \frac{{(- \frac{1}{5})}^{3}}{3}) + x]_{- \frac{1}{5}}^{\frac{1}{5}}$

Bước 4.8.1.2

Tính $x$ tại $\frac{1}{5}$ và tại $- \frac{1}{5}$ .

$- 25 (\frac{{(\frac{1}{5})}^{3}}{3} - \frac{{(- \frac{1}{5})}^{3}}{3}) + \frac{1}{5} + \frac{1}{5}$

Bước 4.8.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1.3.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \frac{1}{5}$ .

$- 25 (\frac{{(\frac{1}{5})}^{3}}{3} - \frac{{(- (\frac{1}{5}))}^{3}}{3}) + \frac{1}{5} + \frac{1}{5}$

Bước 4.8.1.3.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $- (\frac{1}{5})$ .

$- 25 (\frac{{(\frac{1}{5})}^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3} {(\frac{1}{5})}^{3}}{3}) + \frac{1}{5} + \frac{1}{5}$

Bước 4.8.1.3.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$- 25 (\frac{{(\frac{1}{5})}^{3}}{3} - \frac{- {(\frac{1}{5})}^{3}}{3}) + \frac{1}{5} + \frac{1}{5}$

Bước 4.8.1.3.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- 25 (\frac{{(\frac{1}{5})}^{3}}{3} - - \frac{{(\frac{1}{5})}^{3}}{3}) + \frac{1}{5} + \frac{1}{5}$

Bước 4.8.1.3.5

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- 25 (\frac{{(\frac{1}{5})}^{3}}{3} + 1 \frac{{(\frac{1}{5})}^{3}}{3}) + \frac{1}{5} + \frac{1}{5}$

Bước 4.8.1.3.6

Nhân $\frac{{(\frac{1}{5})}^{3}}{3}$ với $1$ .

$- 25 (\frac{{(\frac{1}{5})}^{3}}{3} + \frac{{(\frac{1}{5})}^{3}}{3}) + \frac{1}{5} + \frac{1}{5}$

Bước 4.8.1.3.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- 25 \frac{{(\frac{1}{5})}^{3} + {(\frac{1}{5})}^{3}}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{5}$

Bước 4.8.1.3.8

Cộng ${(\frac{1}{5})}^{3}$ và ${(\frac{1}{5})}^{3}$ .

$- 25 \frac{2 {(\frac{1}{5})}^{3}}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{5}$

Bước 4.8.1.3.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- 25 \frac{2 {(\frac{1}{5})}^{3}}{3} + \frac{1 + 1}{5}$

Bước 4.8.1.3.10

Cộng $1$ và $1$ .

$- 25 \frac{2 {(\frac{1}{5})}^{3}}{3} + \frac{2}{5}$

Bước 4.8.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.2.1.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{5}$ .

$- 25 \frac{2 \frac{1^{3}}{5^{3}}}{3} + \frac{2}{5}$

Bước 4.8.2.1.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- 25 \frac{2 \frac{1}{5^{3}}}{3} + \frac{2}{5}$

Bước 4.8.2.1.1.3

Nâng $5$ lên lũy thừa $3$ .

$- 25 \frac{2 (\frac{1}{125})}{3} + \frac{2}{5}$

Bước 4.8.2.1.2

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{125}$ .

$- 25 \frac{\frac{2}{125}}{3} + \frac{2}{5}$

Bước 4.8.2.1.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$- 25 (\frac{2}{125} \cdot \frac{1}{3}) + \frac{2}{5}$

Bước 4.8.2.1.4

Nhân $\frac{2}{125} \cdot \frac{1}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.2.1.4.1

Nhân $\frac{2}{125}$ với $\frac{1}{3}$ .

$- 25 \frac{2}{125 \cdot 3} + \frac{2}{5}$

Bước 4.8.2.1.4.2

Nhân $125$ với $3$ .

$- 25 (\frac{2}{375}) + \frac{2}{5}$

Bước 4.8.2.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $25$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.2.1.5.1

Đưa $25$ ra ngoài $- 25$ .

$25 (- 1) \frac{2}{375} + \frac{2}{5}$

Bước 4.8.2.1.5.2

Đưa $25$ ra ngoài $375$ .

$25 \cdot - 1 \frac{2}{25 \cdot 15} + \frac{2}{5}$

Bước 4.8.2.1.5.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$25 \cdot - 1 \frac{2}{25 \cdot 15} + \frac{2}{5}$

Bước 4.8.2.1.5.4

Viết lại biểu thức.

$- \frac{2}{15} + \frac{2}{5}$

Bước 4.8.2.2

Để viết $\frac{2}{5}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{15} + \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{3}$

Bước 4.8.2.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $15$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.2.3.1

Nhân $\frac{2}{5}$ với $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{15} + \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3}$

Bước 4.8.2.3.2

Nhân $5$ với $3$ .

$- \frac{2}{15} + \frac{2 \cdot 3}{15}$

Bước 4.8.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 2 + 2 \cdot 3}{15}$

Bước 4.8.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.2.5.1

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{- 2 + 6}{15}$

Bước 4.8.2.5.2

Cộng $- 2$ và $6$ .

$\frac{4}{15}$

Bước 5