Giải tích Ví dụ

$e^{2 x} + e^{- x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{2 x} + e^{- x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 1.1.2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 1.1.2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 1.1.2.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 1.1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 1.1.2.4

Nhân $2$ với $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 1.1.2.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $- x$ .

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 1.1.3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$2 e^{2 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 1.1.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $- x$ .

$2 e^{2 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 1.1.3.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 e^{2 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 e^{2 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Bước 1.1.3.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$2 e^{2 x} + e^{- x} \cdot - 1$

Bước 1.1.3.5

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{- x}$ .

$2 e^{2 x} - 1 \cdot e^{- x}$

Bước 1.1.3.6

Viết lại $- 1 e^{- x}$ ở dạng $- e^{- x}$ .

$f' (x) = 2 e^{2 x} - e^{- x}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $2 e^{2 x} - e^{- x}$ .

$2 e^{2 x} - e^{- x}$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $2 e^{2 x} - e^{- x} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$2 e^{2 x} - e^{- x} = 0$

Bước 2.2

Di chuyển $- e^{- x}$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng nó vào cả hai vế.

$2 e^{2 x} = e^{- x}$

Bước 2.3

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (2 e^{2 x}) = \ln (e^{- x})$

Bước 2.4

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Viết lại $\ln (2 e^{2 x})$ ở dạng $\ln (2) + \ln (e^{2 x})$ .

$\ln (2) + \ln (e^{2 x}) = \ln (e^{- x})$

Bước 2.4.2

Khai triển $\ln (e^{2 x})$ bằng cách di chuyển $2 x$ ra bên ngoài lôgarit.

$\ln (2) + 2 x \ln (e) = \ln (e^{- x})$

Bước 2.4.3

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$\ln (2) + 2 x \cdot 1 = \ln (e^{- x})$

Bước 2.4.4

Nhân $2$ với $1$ .

$\ln (2) + 2 x = \ln (e^{- x})$

Bước 2.5

Khai triển vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Khai triển $\ln (e^{- x})$ bằng cách di chuyển $- x$ ra bên ngoài lôgarit.

$\ln (2) + 2 x = - x \ln (e)$

Bước 2.5.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$\ln (2) + 2 x = - x \cdot 1$

Bước 2.5.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\ln (2) + 2 x = - x$

Bước 2.6

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $x$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Cộng $x$ cho cả hai vế của phương trình.

$\ln (2) + 2 x + x = 0$

Bước 2.6.2

Cộng $2 x$ và $x$ .

$\ln (2) + 3 x = 0$

Bước 2.7

Trừ $\ln (2)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$3 x = - \ln (2)$

Bước 2.8

Chia mỗi số hạng trong $3 x = - \ln (2)$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Chia mỗi số hạng trong $3 x = - \ln (2)$ cho $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \ln (2)}{3}$

Bước 2.8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \ln (2)}{3}$

Bước 2.8.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- \ln (2)}{3}$

Bước 2.8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{\ln (2)}{3}$

Bước 3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 4

Tính $e^{2 x} + e^{- x}$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giá trị tại $x = - \frac{\ln (2)}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay $- \frac{\ln (2)}{3}$ bằng $x$ .

$e^{2 (- \frac{\ln (2)}{3})} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Bước 4.1.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Viết lại $\frac{\ln (2)}{3}$ ở dạng $\frac{1}{3} \ln (2)$ .

$e^{2 (- (\frac{1}{3} \ln (2)))} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Bước 4.1.2.2

Rút gọn $\frac{1}{3} \ln (2)$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{3}$ trong logarit.

$e^{2 (- \ln (2^{\frac{1}{3}}))} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Bước 4.1.2.3

Nhân $2 (- \ln (2^{\frac{1}{3}}))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.3.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$e^{- 2 \ln (2^{\frac{1}{3}})} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Bước 4.1.2.3.2

Rút gọn $- 2 \ln (2^{\frac{1}{3}})$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$e^{- \ln ({(2^{\frac{1}{3}})}^{2})} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Bước 4.1.2.4

Rút gọn $- \ln ({(2^{\frac{1}{3}})}^{2})$ bằng cách di chuyển $- 1$ trong logarit.

$e^{\ln ({({(2^{\frac{1}{3}})}^{2})}^{- 1})} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Bước 4.1.2.5

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

${({(2^{\frac{1}{3}})}^{2})}^{- 1} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Bước 4.1.2.6

Nhân các số mũ trong ${({(2^{\frac{1}{3}})}^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.6.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2^{\frac{1}{3}})}^{2 \cdot - 1} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Bước 4.1.2.6.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

${(2^{\frac{1}{3}})}^{- 2} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Bước 4.1.2.7

Nhân các số mũ trong ${(2^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.7.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{3} \cdot - 2} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Bước 4.1.2.7.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $- 2$ .

$2^{\frac{- 2}{3}} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Bước 4.1.2.7.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2^{- \frac{2}{3}} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Bước 4.1.2.8

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Bước 4.1.2.9

Viết lại $\frac{\ln (2)}{3}$ ở dạng $\frac{1}{3} \ln (2)$ .

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{- - (\frac{1}{3} \ln (2))}$

Bước 4.1.2.10

Rút gọn $\frac{1}{3} \ln (2)$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{3}$ trong logarit.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{- - \ln (2^{\frac{1}{3}})}$

Bước 4.1.2.11

Nhân $- - \ln (2^{\frac{1}{3}})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.11.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{1 \ln (2^{\frac{1}{3}})}$

Bước 4.1.2.11.2

Nhân $\ln (2^{\frac{1}{3}})$ với $1$ .

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{\ln (2^{\frac{1}{3}})}$

Bước 4.1.2.12

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + 2^{\frac{1}{3}}$

Bước 4.2

Liệt kê tất cả các điểm.

$(- \frac{\ln (2)}{3}, \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + 2^{\frac{1}{3}})$

Bước 5