Giải tích Ví dụ

$P = \frac{1}{1 + 5 e^{- \frac{1}{10} t}}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d t} (P) = \frac{d}{d t} (\frac{1}{1 + 5 e^{- \frac{1}{10} t}})$

Bước 2

Đạo hàm của $P$ đối với $t$ là $P'$ .

$P'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Kết hợp $t$ và $\frac{1}{10}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{1 + 5 e^{- \frac{t}{10}}}]$

Bước 3.1.2

Viết lại $\frac{1}{1 + 5 e^{- \frac{t}{10}}}$ ở dạng ${(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 1}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = t^{- 1}$ và $g (t) = 1 + 5 e^{- \frac{t}{10}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $1 + 5 e^{- \frac{t}{10}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [1 + 5 e^{- \frac{t}{10}}]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + 5 e^{- \frac{t}{10}}]$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $1 + 5 e^{- \frac{t}{10}}$ .

$- {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + 5 e^{- \frac{t}{10}}]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + 5 e^{- \frac{t}{10}}$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [5 e^{- \frac{t}{10}}]$ .

$- {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [5 e^{- \frac{t}{10}}])$

Bước 3.3.2

Vì $1$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $1$ đối với $t$ là $0$ .

$- {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [5 e^{- \frac{t}{10}}])$

Bước 3.3.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d t} [5 e^{- \frac{t}{10}}]$ .

$- {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} \frac{d}{d t} [5 e^{- \frac{t}{10}}]$

Bước 3.3.4

Vì $5$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $5 e^{- \frac{t}{10}}$ đối với $t$ là $5 \frac{d}{d t} [e^{- \frac{t}{10}}]$ .

$- {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} (5 \frac{d}{d t} [e^{- \frac{t}{10}}])$

Bước 3.3.5

Nhân $5$ với $- 1$ .

$- 5 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} \frac{d}{d t} [e^{- \frac{t}{10}}]$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = e^{t}$ và $g (t) = - \frac{t}{10}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $- \frac{t}{10}$ .

$- 5 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- \frac{t}{10}])$

Bước 3.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$- 5 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- \frac{t}{10}])$

Bước 3.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $- \frac{t}{10}$ .

$- 5 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} (e^{- \frac{t}{10}} \frac{d}{d t} [- \frac{t}{10}])$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Vì $- \frac{1}{10}$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- \frac{t}{10}$ đối với $t$ là $- \frac{1}{10} \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 5 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} (e^{- \frac{t}{10}} (- \frac{1}{10} \frac{d}{d t} [t]))$

Bước 3.5.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Kết hợp $e^{- \frac{t}{10}}$ và $\frac{1}{10}$ .

$- 5 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} (- \frac{e^{- \frac{t}{10}}}{10} \frac{d}{d t} [t])$

Bước 3.5.2.2

Nhân $- 1$ với $- 5$ .

$5 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} (\frac{e^{- \frac{t}{10}}}{10} \frac{d}{d t} [t])$

Bước 3.5.2.3

Kết hợp $\frac{e^{- \frac{t}{10}}}{10}$ và $5$ .

$\frac{e^{- \frac{t}{10}} \cdot 5}{10} {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t]$

Bước 3.5.2.4

Kết hợp $\frac{e^{- \frac{t}{10}} \cdot 5}{10}$ và ${(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2}$ .

$\frac{e^{- \frac{t}{10}} \cdot 5 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2}}{10} \frac{d}{d t} [t]$

Bước 3.5.2.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.5.1

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $e^{- \frac{t}{10}}$ .

$\frac{5 \cdot e^{- \frac{t}{10}} {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2}}{10} \frac{d}{d t} [t]$

Bước 3.5.2.5.2

Di chuyển ${(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5 e^{- \frac{t}{10}}}{10 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Bước 3.5.2.6

Triệt tiêu thừa số chung của $5$ và $10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.6.1

Đưa $5$ ra ngoài $5 e^{- \frac{t}{10}}$ .

$\frac{5 (e^{- \frac{t}{10}})}{10 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Bước 3.5.2.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.6.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $10 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2}$ .

$\frac{5 (e^{- \frac{t}{10}})}{5 (2 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2})} \frac{d}{d t} [t]$

Bước 3.5.2.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 e^{- \frac{t}{10}}}{5 (2 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2})} \frac{d}{d t} [t]$

Bước 3.5.2.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{e^{- \frac{t}{10}}}{2 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Bước 3.5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{e^{- \frac{t}{10}}}{2 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2}} \cdot 1$

Bước 3.5.4

Nhân $\frac{e^{- \frac{t}{10}}}{2 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2}}$ với $1$ .

$\frac{e^{- \frac{t}{10}}}{2 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2}}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$P' = \frac{e^{- \frac{t}{10}}}{2 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2}}$

Bước 5

Thay thế $P'$ bằng $\frac{d P}{d t}$ .

$\frac{d P}{d t} = \frac{e^{- \frac{t}{10}}}{2 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2}}$