Giải tích Ví dụ

$y = \frac{e^{- x} + 1}{e^{x}}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{e^{- x} + 1}{e^{x}})$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ là $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ trong đó $f (y) = e^{- x} + 1$ và $g (y) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [e^{- x} + 1] - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Bước 3.2

Tính đạo hàm bằng quy tắc tổng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nhân các số mũ trong ${(e^{x})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [e^{- x} + 1] - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Bước 3.2.1.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [e^{- x} + 1] - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 3.2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{- x} + 1$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [e^{- x}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d y} [e^{- x}] + \frac{d}{d y} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = e^{y}$ và $g (y) = - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $- x$ .

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} (e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $- x$ .

$\frac{e^{x} (e^{- x} \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 3.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $y$ là $- \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{e^{x} (e^{- x} (- \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 3.5

Viết lại $\frac{d}{d y} [x]$ ở dạng $x'$ .

$\frac{e^{x} (e^{- x} (- x') + \frac{d}{d y} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 3.6

Vì $1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $1$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{e^{x} (e^{- x} (- x') + 0) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 3.7

Cộng $e^{- x} (- x')$ và $0$ .

$\frac{e^{x} (e^{- x} (- x')) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 3.8

Nhân $e^{x}$ với $e^{- x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Di chuyển $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} e^{x} (- x') - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 3.8.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{e^{- x + x} (- x') - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 3.8.3

Cộng $- x$ và $x$ .

$\frac{e^{0} (- x') - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 3.9

Rút gọn $e^{0} (- x')$ .

$\frac{- x' - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 3.10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = e^{y}$ và $g (y) = x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x$ .

$\frac{- x' - (e^{- x} + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

Bước 3.10.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{- x' - (e^{- x} + 1) (e^{u_{2}} \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

Bước 3.10.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x$ .

$\frac{- x' - (e^{- x} + 1) (e^{x} \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

Bước 3.11

Viết lại $\frac{d}{d y} [x]$ ở dạng $x'$ .

$\frac{- x' - (e^{- x} + 1) (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Bước 3.12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- x' + (- e^{- x} - 1 \cdot 1) (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Bước 3.12.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- x' - e^{- x} (e^{x} x') - 1 \cdot 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Bước 3.12.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.3.1.1

Nhân $e^{- x}$ với $e^{x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.3.1.1.1

Di chuyển $e^{x}$ .

$\frac{- x' - (e^{x} e^{- x}) x' - 1 \cdot 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Bước 3.12.3.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{- x' - e^{x - x} x' - 1 \cdot 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Bước 3.12.3.1.1.3

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$\frac{- x' - e^{0} x' - 1 \cdot 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Bước 3.12.3.1.2

Rút gọn $- e^{0} x'$ .

$\frac{- x' - 1 x' - 1 \cdot 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Bước 3.12.3.1.3

Viết lại $- 1 x'$ ở dạng $- x'$ .

$\frac{- x' - x' - 1 \cdot 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Bước 3.12.3.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{- x' - x' - 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Bước 3.12.3.1.5

Viết lại $- 1 (e^{x} x')$ ở dạng $- (e^{x} x')$ .

$\frac{- x' - x' - e^{x} x'}{e^{2 x}}$

Bước 3.12.3.2

Trừ $x'$ khỏi $- x'$ .

$\frac{- 2 x' - e^{x} x'}{e^{2 x}}$

Bước 3.12.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- e^{x} x' - 2 x'}{e^{2 x}}$

Bước 3.12.5

Đưa $x'$ ra ngoài $- e^{x} x' - 2 x'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.5.1

Đưa $x'$ ra ngoài $- e^{x} x'$ .

$\frac{x' (- e^{x}) - 2 x'}{e^{2 x}}$

Bước 3.12.5.2

Đưa $x'$ ra ngoài $- 2 x'$ .

$\frac{x' (- e^{x}) + x' \cdot - 2}{e^{2 x}}$

Bước 3.12.5.3

Đưa $x'$ ra ngoài $x' (- e^{x}) + x' \cdot - 2$ .

$\frac{x' (- e^{x} - 2)}{e^{2 x}}$

Bước 3.12.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- e^{x}$ .

$\frac{x' (- (e^{x}) - 2)}{e^{2 x}}$

Bước 3.12.7

Viết lại $- 2$ ở dạng $- 1 (2)$ .

$\frac{x' (- (e^{x}) - 1 (2))}{e^{2 x}}$

Bước 3.12.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (e^{x}) - 1 (2)$ .

$\frac{x' (- (e^{x} + 2))}{e^{2 x}}$

Bước 3.12.9

Viết lại $- (e^{x} + 2)$ ở dạng $- 1 (e^{x} + 2)$ .

$\frac{x' (- 1 (e^{x} + 2))}{e^{2 x}}$

Bước 3.12.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}}$

Bước 3.12.11

Sắp xếp lại các thừa số trong $- \frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}}$ .

$- \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$1 = - \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}}$

Bước 5

Giải tìm $x'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại phương trình ở dạng $- \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}} = 1$ .

$- \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}} = 1$

Bước 5.2

Chia mỗi số hạng trong $- \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}} = 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}} = 1$ cho $- 1$ .

$\frac{- \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Bước 5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Bước 5.2.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.2.1

Chia $\frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}}$ cho $1$ .

$\frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}} = \frac{1}{- 1}$

Bước 5.2.2.2.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}}$ .

$\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}} = \frac{1}{- 1}$

Bước 5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Chia $1$ cho $- 1$ .

$\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}} = - 1$

Bước 5.3

Nhân cả hai vế với $e^{2 x}$ .

$\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}} e^{2 x} = - e^{2 x}$

Bước 5.4

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Rút gọn $\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}} e^{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}} e^{2 x} = - e^{2 x}$

Bước 5.4.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$x' (e^{x} + 2) = - e^{2 x}$

Bước 5.4.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x' e^{x} + x' \cdot 2 = - e^{2 x}$

Bước 5.4.1.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x'$ .

$x' e^{x} + 2 x' = - e^{2 x}$

Bước 5.5

Giải tìm $x'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Đưa $x'$ ra ngoài $x' e^{x} + 2 x'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1.1

Đưa $x'$ ra ngoài $x' e^{x}$ .

$x' (e^{x}) + 2 x' = - e^{2 x}$

Bước 5.5.1.2

Đưa $x'$ ra ngoài $2 x'$ .

$x' (e^{x}) + x' \cdot 2 = - e^{2 x}$

Bước 5.5.1.3

Đưa $x'$ ra ngoài $x' (e^{x}) + x' \cdot 2$ .

$x' (e^{x} + 2) = - e^{2 x}$

Bước 5.5.2

Chia mỗi số hạng trong $x' (e^{x} + 2) = - e^{2 x}$ cho $e^{x} + 2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $x' (e^{x} + 2) = - e^{2 x}$ cho $e^{x} + 2$ .

$\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{x} + 2} = \frac{- e^{2 x}}{e^{x} + 2}$

Bước 5.5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{x} + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{x} + 2} = \frac{- e^{2 x}}{e^{x} + 2}$

Bước 5.5.2.2.1.2

Chia $x'$ cho $1$ .

$x' = \frac{- e^{2 x}}{e^{x} + 2}$

Bước 5.5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x' = - \frac{e^{2 x}}{e^{x} + 2}$

Bước 6

Thay thế $x'$ bằng $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{e^{2 x}}{e^{x} + 2}$