Giải tích Ví dụ

$f' (x) = - 2 x \sqrt{8 - x^{2}}$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $f (x)$ bằng cách tìm giá trị của tích phân bất định của đạo hàm $f' (x)$ .

$f (x) = \int f' (x) d x$

Bước 2

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$- 2 \int x \sqrt{8 - x^{2}} d x$

Bước 3

Giả sử $u = 8 - x^{2}$ . Sau đó $d u = - 2 x d x$ , nên $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u = 8 - x^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $8 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [8 - x^{2}]$

Bước 3.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $8 - x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 3.1.2.2

Vì $8$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $8$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 3.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Bước 3.1.3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$0 - 2 x$

Bước 3.1.4

Trừ $2 x$ khỏi $0$ .

$- 2 x$

Bước 3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$- 2 \int \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- 2 \int \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Bước 4.2

Kết hợp $\sqrt{u}$ và $\frac{1}{2}$ .

$- 2 \int - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Bước 5

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- 2 (- \int \frac{\sqrt{u}}{2} d u)$

Bước 6

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$2 \int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Bước 7

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u)$

Bước 8

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{2}{2} \int \sqrt{u} d u$

Bước 8.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{2} \int \sqrt{u} d u$

Bước 8.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 \int \sqrt{u} d u$

Bước 8.1.3

Nhân $\int \sqrt{u} d u$ với $1$ .

$\int \sqrt{u} d u$

Bước 8.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $8 - x^{2}$ .

$\frac{2}{3} {(8 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 11

Hàm số $f$ nếu được tính từ tích phân của đạo hàm của hàm số. Điều này thỏa định lý cơ bản của giải tích.

$f (x) = \frac{2}{3} \cdot {(8 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$