Giải tích Ví dụ

$f (x) = x \ln (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \ln (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \ln (x) \cdot 1$

Bước 1.1.3.4

Nhân $\ln (x)$ với $1$ .

$f' (x) = 1 + \ln (x)$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $1 + \ln (x)$ .

$1 + \ln (x)$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $1 + \ln (x) = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$1 + \ln (x) = 0$

Bước 2.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\ln (x) = - 1$

Bước 2.3

Để giải tìm $x$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (x)} = e^{- 1}$

Bước 2.4

Viết lại $\ln (x) = - 1$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = x$

Bước 2.5

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $x = e^{- 1}$ .

$x = e^{- 1}$

Bước 2.5.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e}$

Bước 3

Các giá trị làm cho đạo hàm bằng $0$ là $\frac{1}{e}$ .

$\frac{1}{e}$

Bước 4

Tìm nơi đạo hàm không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đặt đối số trong $\ln (x)$ nhỏ hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x \leq 0$

Bước 4.2

Phương trình không xác định tại mẫu số bằng $0$ , đối số của một căn bậc hai nhỏ hơn $0$ , hoặc đối số của một logarit nhỏ hơn hoặc bằng $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Bước 5

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{1}{e}) \cup (\frac{1}{e}, \infty)$

Bước 6

Loại bỏ các khoảng không nằm trong tập xác định.

$(0, \frac{1}{e})$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(0, \frac{1}{e})$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $0.18393972$ trong biểu thức.

$f' (0.18393972) = 1 + \ln (0.18393972)$

Bước 7.2

Câu trả lời cuối cùng là $1 + \ln (0.18393972)$ .

$1 + \ln (0.18393972)$

Bước 7.3

Rút gọn.

$- 0.69314715$

Bước 7.4

Tại $x = 0.18393972$ đạo hàm là $- 0.69314715$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(0, \frac{1}{e})$ .

Giảm trên $(0, \frac{1}{e})$ vì $f' (x) < 0$

Bước 8

Loại bỏ các khoảng không nằm trong tập xác định.

$(0, \frac{1}{e}), (\frac{1}{e}, \infty)$

Bước 9

Thay một giá trị từ khoảng $(\frac{1}{e}, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Thay thế biến $x$ bằng $1.36787945$ trong biểu thức.

$f' (1.36787945) = 1 + \ln (1.36787945)$

Bước 9.2

Câu trả lời cuối cùng là $1 + \ln (1.36787945)$ .

$1 + \ln (1.36787945)$

Bước 9.3

Rút gọn.

$1.31326169$

Bước 9.4

Tại $x = 1.36787945$ đạo hàm là $1.31326169$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(\frac{1}{e}, \infty)$ .

Tăng trên $(\frac{1}{e}, \infty)$ vì $f' (x) > 0$

Bước 10

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Tăng trên: $(\frac{1}{e}, \infty)$

Giảm trên: $(0, \frac{1}{e})$

Bước 11