Giải tích Ví dụ

$f (x) = x^{4} e^{x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{4}$ và $g (x) = e^{x}$ .

$f' (x) = x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$f' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$f' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3})$

Bước 1.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = e^{x} x^{4} + 4 e^{x} x^{3}$

Bước 1.1.4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{x} x^{4} + 4 e^{x} x^{3}$ .

$f' (x) = x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x}$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{4} e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3} e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4} e^{x}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{x})$

Bước 1.2.2

Tính $\frac{d}{d x} [x^{4} e^{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

$f'' (x) = x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{x})$

Bước 1.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{x})$

Bước 1.2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{x})$

Bước 1.2.3

Tính $\frac{d}{d x} [4 x^{3} e^{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{3} e^{x}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}]$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 \frac{d}{d x} (x^{3} e^{x})$

Bước 1.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 (x^{3} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Bước 1.2.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 (x^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Bước 1.2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}))$

Bước 1.2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 (x^{3} e^{x}) + 4 (e^{x} (3 x^{2}))$

Bước 1.2.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1

Nhân $3$ với $4$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 x^{3} e^{x} + 12 (e^{x} (x^{2}))$

Bước 1.2.4.2.2

Cộng $e^{x} (4 x^{3})$ và $4 x^{3} e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.2.1

Di chuyển $e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x} + 4 x^{3} e^{x} + 12 e^{x} x^{2}$

Bước 1.2.4.2.2.2

Cộng $4 x^{3} e^{x}$ và $4 x^{3} e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 e^{x} x^{2}$

Bước 1.2.4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$f'' (x) = e^{x} x^{4} + 8 e^{x} x^{3} + 12 e^{x} x^{2}$

Bước 1.2.4.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{x} x^{4} + 8 e^{x} x^{3} + 12 e^{x} x^{2}$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x}$

Bước 1.3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x}$ .

$x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x}$

Bước 2

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} = 0$

Bước 2.2

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Đưa $x^{2} e^{x}$ ra ngoài $x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Đưa $x^{2} e^{x}$ ra ngoài $x^{4} e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} (x^{2}) + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} = 0$

Bước 2.2.1.2

Đưa $x^{2} e^{x}$ ra ngoài $8 x^{3} e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} (x^{2}) + x^{2} e^{x} (8 x) + 12 x^{2} e^{x} = 0$

Bước 2.2.1.3

Đưa $x^{2} e^{x}$ ra ngoài $12 x^{2} e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} (x^{2}) + x^{2} e^{x} (8 x) + x^{2} e^{x} (12) = 0$

Bước 2.2.1.4

Đưa $x^{2} e^{x}$ ra ngoài $x^{2} e^{x} (x^{2}) + x^{2} e^{x} (8 x)$ .

$x^{2} e^{x} (x^{2} + 8 x) + x^{2} e^{x} (12) = 0$

Bước 2.2.1.5

Đưa $x^{2} e^{x}$ ra ngoài $x^{2} e^{x} (x^{2} + 8 x) + x^{2} e^{x} (12)$ .

$x^{2} e^{x} (x^{2} + 8 x + 12) = 0$

Bước 2.2.2

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Phân tích $x^{2} + 8 x + 12$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $12$ và tổng của chúng là $8$ .

$2, 6$

Bước 2.2.2.1.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$x^{2} e^{x} ((x + 2) (x + 6)) = 0$

Bước 2.2.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$x^{2} e^{x} (x + 2) (x + 6) = 0$

Bước 2.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x^{2} = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

$x + 6 = 0$

Bước 2.4

Đặt $x^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Đặt $x^{2}$ bằng với $0$ .

$x^{2} = 0$

Bước 2.4.2

Giải $x^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Bước 2.4.2.2

Rút gọn $\pm \sqrt{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Bước 2.4.2.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 0$

Bước 2.4.2.2.3

Cộng hoặc trừ $0$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 2.5

Đặt $e^{x}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Đặt $e^{x}$ bằng với $0$ .

$e^{x} = 0$

Bước 2.5.2

Giải $e^{x} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Bước 2.5.2.2

Không thể giải phương trình vì $\ln (0)$ không xác định.

Không xác định

Bước 2.5.2.3

Không có đáp án nào cho $e^{x} = 0$

Không có đáp án

Bước 2.6

Đặt $x + 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Đặt $x + 2$ bằng với $0$ .

$x + 2 = 0$

Bước 2.6.2

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 2$

Bước 2.7

Đặt $x + 6$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Đặt $x + 6$ bằng với $0$ .

$x + 6 = 0$

Bước 2.7.2

Trừ $6$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 6$

Bước 2.8

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $x^{2} e^{x} (x + 2) (x + 6) = 0$ đúng.

$x = 0, - 2, - 6$

Bước 3

Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bậc hai là $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay $0$ trong $f (x) = x^{4} e^{x}$ để tìm giá trị của $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f (0) = {(0)}^{4} e^{0}$

Bước 3.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f (0) = 0 e^{0}$

Bước 3.1.2.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$f (0) = 0 \cdot 1$

Bước 3.1.2.3

Nhân $0$ với $1$ .

$f (0) = 0$

Bước 3.1.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $0$ .

$0$

Bước 3.2

Tìm điểm bằng cách thay thế $0$ trong $f (x) = x^{4} e^{x}$ là $(0, 0)$ . Điểm này có thể là một điểm uốn.

$(0, 0)$

Bước 3.3

Thay $- 2$ trong $f (x) = x^{4} e^{x}$ để tìm giá trị của $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 2$ trong biểu thức.

$f (- 2) = {(- 2)}^{4} e^{- 2}$

Bước 3.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $4$ .

$f (- 2) = 16 e^{- 2}$

Bước 3.3.2.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 2) = 16 (\frac{1}{e^{2}})$

Bước 3.3.2.3

Kết hợp $16$ và $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f (- 2) = \frac{16}{e^{2}}$

Bước 3.3.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{16}{e^{2}}$ .

$\frac{16}{e^{2}}$

Bước 3.4

Tìm điểm bằng cách thay thế $- 2$ trong $f (x) = x^{4} e^{x}$ là $(- 2, \frac{16}{e^{2}})$ . Điểm này có thể là một điểm uốn.

$(- 2, \frac{16}{e^{2}})$

Bước 3.5

Thay $- 6$ trong $f (x) = x^{4} e^{x}$ để tìm giá trị của $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 6$ trong biểu thức.

$f (- 6) = {(- 6)}^{4} e^{- 6}$

Bước 3.5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Nâng $- 6$ lên lũy thừa $4$ .

$f (- 6) = 1296 e^{- 6}$

Bước 3.5.2.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 6) = 1296 (\frac{1}{e^{6}})$

Bước 3.5.2.3

Kết hợp $1296$ và $\frac{1}{e^{6}}$ .

$f (- 6) = \frac{1296}{e^{6}}$

Bước 3.5.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{1296}{e^{6}}$ .

$\frac{1296}{e^{6}}$

Bước 3.6

Tìm điểm bằng cách thay thế $- 6$ trong $f (x) = x^{4} e^{x}$ là $(- 6, \frac{1296}{e^{6}})$ . Điểm này có thể là một điểm uốn.

$(- 6, \frac{1296}{e^{6}})$

Bước 3.7

Xác định các điểm có thể là điểm uốn.

$(0, 0), (- 2, \frac{16}{e^{2}}), (- 6, \frac{1296}{e^{6}})$

Bước 4

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng xung quanh các điểm có khả năng là các điểm uốn.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Bước 5

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, - 6)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 6.1$ trong biểu thức.

$f'' (- 6.1) = {(- 6.1)}^{4} e^{- 6.1} + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Nâng $- 6.1$ lên lũy thừa $4$ .

$f'' (- 6.1) = 1384.5841 e^{- 6.1} + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Bước 5.2.1.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 6.1) = 1384.5841 (\frac{1}{e^{6.1}}) + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Bước 5.2.1.3

Kết hợp $1384.5841$ và $\frac{1}{e^{6.1}}$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{1384.5841}{e^{6.1}} + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Bước 5.2.1.4

Thay thế $e$ bằng một giá trị xấp xỉ.

$f'' (- 6.1) = \frac{1384.5841}{{2.71828182}^{6.1}} + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Bước 5.2.1.5

Nâng $2.71828182$ lên lũy thừa $6.1$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{1384.5841}{445.85777008} + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Bước 5.2.1.6

Chia $1384.5841$ cho $445.85777008$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Bước 5.2.1.7

Nâng $- 6.1$ lên lũy thừa $3$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 + 8 \cdot (- 226.981 e^{- 6.1}) + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Bước 5.2.1.8

Nhân $8$ với $- 226.981$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 1815.848 e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Bước 5.2.1.9

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 1815.848 \frac{1}{e^{6.1}} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Bước 5.2.1.10

Kết hợp $- 1815.848$ và $\frac{1}{e^{6.1}}$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 + \frac{- 1815.848}{e^{6.1}} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Bước 5.2.1.11

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - \frac{1815.848}{e^{6.1}} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Bước 5.2.1.12

Thay thế $e$ bằng một giá trị xấp xỉ.

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - \frac{1815.848}{{2.71828182}^{6.1}} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Bước 5.2.1.13

Nâng $2.71828182$ lên lũy thừa $6.1$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - \frac{1815.848}{445.85777008} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Bước 5.2.1.14

Chia $1815.848$ cho $445.85777008$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 1 \cdot 4.07270686 + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Bước 5.2.1.15

Nhân $- 1$ với $4.07270686$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Bước 5.2.1.16

Nâng $- 6.1$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + 12 \cdot (37.21 e^{- 6.1})$

Bước 5.2.1.17

Nhân $12$ với $37.21$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + 446.52 e^{- 6.1}$

Bước 5.2.1.18

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + 446.52 (\frac{1}{e^{6.1}})$

Bước 5.2.1.19

Kết hợp $446.52$ và $\frac{1}{e^{6.1}}$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + \frac{446.52}{e^{6.1}}$

Bước 5.2.1.20

Thay thế $e$ bằng một giá trị xấp xỉ.

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + \frac{446.52}{{2.71828182}^{6.1}}$

Bước 5.2.1.21

Nâng $2.71828182$ lên lũy thừa $6.1$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + \frac{446.52}{445.85777008}$

Bước 5.2.1.22

Chia $446.52$ cho $445.85777008$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + 1.00148529$

Bước 5.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Trừ $4.07270686$ khỏi $3.10543898$ .

$f'' (- 6.1) = - 0.96726787 + 1.00148529$

Bước 5.2.2.2

Cộng $- 0.96726787$ và $1.00148529$ .

$f'' (- 6.1) = 0.03421741$

Bước 5.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $0.03421741$ .

$0.03421741$

Bước 5.3

Tại $- 6.1$ , đạo hàm bậc hai là $0.03421741$ . Vì số này dương, đạo hàm bậc hai tăng trên khoảng $(- \infty, - 6)$ .

Tăng trên $(- \infty, - 6)$ vì $f'' (x) > 0$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- 6, - 2)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 4$ trong biểu thức.

$f'' (- 4) = {(- 4)}^{4} e^{- 4} + 8 {(- 4)}^{3} e^{- 4} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $4$ .

$f'' (- 4) = 256 e^{- 4} + 8 {(- 4)}^{3} e^{- 4} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Bước 6.2.1.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 4) = 256 (\frac{1}{e^{4}}) + 8 {(- 4)}^{3} e^{- 4} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Bước 6.2.1.3

Kết hợp $256$ và $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} + 8 {(- 4)}^{3} e^{- 4} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Bước 6.2.1.4

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} + 8 \cdot (- 64 e^{- 4}) + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Bước 6.2.1.5

Nhân $8$ với $- 64$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - 512 e^{- 4} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Bước 6.2.1.6

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - 512 \frac{1}{e^{4}} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Bước 6.2.1.7

Kết hợp $- 512$ và $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} + \frac{- 512}{e^{4}} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Bước 6.2.1.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - \frac{512}{e^{4}} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Bước 6.2.1.9

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - \frac{512}{e^{4}} + 12 \cdot (16 e^{- 4})$

Bước 6.2.1.10

Nhân $12$ với $16$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - \frac{512}{e^{4}} + 192 e^{- 4}$

Bước 6.2.1.11

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - \frac{512}{e^{4}} + 192 (\frac{1}{e^{4}})$

Bước 6.2.1.12

Kết hợp $192$ và $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - \frac{512}{e^{4}} + \frac{192}{e^{4}}$

Bước 6.2.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (- 4) = \frac{256 - 512 + 192}{e^{4}}$

Bước 6.2.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.2.1

Trừ $512$ khỏi $256$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 256 + 192}{e^{4}}$

Bước 6.2.2.2.2

Cộng $- 256$ và $192$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 64}{e^{4}}$

Bước 6.2.2.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (- 4) = - \frac{64}{e^{4}}$

Bước 6.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{64}{e^{4}}$ .

$- \frac{64}{e^{4}}$

Bước 6.3

Tại $- 4$ , đạo hàm bậc hai là $- 1.17220088$ . Bởi vì đây là số âm, đạo hàm bậc hai giảm trên khoảng $(- 6, - 2)$

Giảm trên $(- 6, - 2)$ vì $f'' (x) < 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(- 2, 0)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 1$ trong biểu thức.

$f'' (- 1) = {(- 1)}^{4} e^{- 1} + 8 {(- 1)}^{3} e^{- 1} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $4$ .

$f'' (- 1) = 1 e^{- 1} + 8 {(- 1)}^{3} e^{- 1} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Bước 7.2.1.2

Nhân $e^{- 1}$ với $1$ .

$f'' (- 1) = e^{- 1} + 8 {(- 1)}^{3} e^{- 1} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Bước 7.2.1.3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} + 8 {(- 1)}^{3} e^{- 1} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Bước 7.2.1.4

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} + 8 \cdot (- 1 e^{- 1}) + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Bước 7.2.1.5

Nhân $8$ với $- 1$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - 8 e^{- 1} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Bước 7.2.1.6

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - 8 \frac{1}{e} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Bước 7.2.1.7

Kết hợp $- 8$ và $\frac{1}{e}$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} + \frac{- 8}{e} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Bước 7.2.1.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - \frac{8}{e} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Bước 7.2.1.9

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - \frac{8}{e} + 12 \cdot (1 e^{- 1})$

Bước 7.2.1.10

Nhân $12$ với $1$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - \frac{8}{e} + 12 e^{- 1}$

Bước 7.2.1.11

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - \frac{8}{e} + 12 (\frac{1}{e})$

Bước 7.2.1.12

Kết hợp $12$ và $\frac{1}{e}$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - \frac{8}{e} + \frac{12}{e}$

Bước 7.2.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (- 1) = \frac{1 - 8 + 12}{e}$

Bước 7.2.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.2.1

Trừ $8$ khỏi $1$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 7 + 12}{e}$

Bước 7.2.2.2.2

Cộng $- 7$ và $12$ .

$f'' (- 1) = \frac{5}{e}$

Bước 7.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{5}{e}$ .

$\frac{5}{e}$

Bước 7.3

Tại $- 1$ , đạo hàm bậc hai là $1.8393972$ . Vì số này dương, đạo hàm bậc hai tăng trên khoảng $(- 2, 0)$ .

Tăng trên $(- 2, 0)$ vì $f'' (x) > 0$

Bước 8

Thay một giá trị từ khoảng $(0, \infty)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Thay thế biến $x$ bằng $0.1$ trong biểu thức.

$f'' (0.1) = {(0.1)}^{4} e^{0.1} + 8 {(0.1)}^{3} e^{0.1} + 12 {(0.1)}^{2} e^{0.1}$

Bước 8.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Nâng $0.1$ lên lũy thừa $4$ .

$f'' (0.1) = 0.0001 e^{0.1} + 8 {(0.1)}^{3} e^{0.1} + 12 {(0.1)}^{2} e^{0.1}$

Bước 8.2.1.2

Nhân $0.0001$ với $e^{0.1}$ .

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 8 {(0.1)}^{3} e^{0.1} + 12 {(0.1)}^{2} e^{0.1}$

Bước 8.2.1.3

Nâng $0.1$ lên lũy thừa $3$ .

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 8 \cdot (0.001 e^{0.1}) + 12 {(0.1)}^{2} e^{0.1}$

Bước 8.2.1.4

Nhân $8$ với $0.001$ .

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 0.008 e^{0.1} + 12 {(0.1)}^{2} e^{0.1}$

Bước 8.2.1.5

Nhân $0.008$ với $e^{0.1}$ .

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 0.00884136 + 12 {(0.1)}^{2} e^{0.1}$

Bước 8.2.1.6

Nâng $0.1$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 0.00884136 + 12 \cdot (0.01 e^{0.1})$

Bước 8.2.1.7

Nhân $12$ với $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 0.00884136 + 0.12 e^{0.1}$

Bước 8.2.1.8

Nhân $0.12$ với $e^{0.1}$ .

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 0.00884136 + 0.13262051$

Bước 8.2.2

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Cộng $0.00011051$ và $0.00884136$ .

$f'' (0.1) = 0.00895188 + 0.13262051$

Bước 8.2.2.2

Cộng $0.00895188$ và $0.13262051$ .

$f'' (0.1) = 0.14157239$

Bước 8.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $0.14157239$ .

$0.14157239$

Bước 8.3

Tại $0.1$ , đạo hàm bậc hai là $0.14157239$ . Vì số này dương, đạo hàm bậc hai tăng trên khoảng $(0, \infty)$ .

Tăng trên $(0, \infty)$ vì $f'' (x) > 0$

Bước 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 6, \frac{1296}{e^{6}}), (- 2, \frac{16}{e^{2}})$ .

$(- 6, \frac{1296}{e^{6}}), (- 2, \frac{16}{e^{2}})$

Bước 10