Giải tích Ví dụ

${(1 - i \sqrt{3})}^{3}$

Bước 1

Sử dụng định lý nhị thức.

$1^{3} + 3 \cdot 1^{2} (- i \sqrt{3}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$1 + 3 \cdot 1^{2} (- i \sqrt{3}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Bước 2.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$1 + 3 \cdot 1 (- i \sqrt{3}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Bước 2.1.3

Nhân $3$ với $1$ .

$1 + 3 (- i \sqrt{3}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Bước 2.1.4

Nhân $- 1$ với $3$ .

$1 - 3 (i \sqrt{3}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Bước 2.1.5

Nhân $3$ với $1$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Bước 2.1.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.6.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- i \sqrt{3}$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 ({(- i)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Bước 2.1.6.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $- i$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 ({(- 1)}^{2} i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Bước 2.1.7

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (1 i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Bước 2.1.8

Nhân $i^{2}$ với $1$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Bước 2.1.9

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 {\sqrt{3}}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Bước 2.1.10

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.10.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Bước 2.1.10.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Bước 2.1.10.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Bước 2.1.10.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.10.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Bước 2.1.10.4.2

Viết lại biểu thức.

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 \cdot 3^{1}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Bước 2.1.10.5

Tính số mũ.

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 \cdot 3) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Bước 2.1.11

Nhân $3 (- 1 \cdot 3)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.11.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 \cdot - 3 + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Bước 2.1.11.2

Nhân $3$ với $- 3$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Bước 2.1.12

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.12.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- i \sqrt{3}$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + {(- i)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}$

Bước 2.1.12.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $- i$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + {(- 1)}^{3} i^{3} {\sqrt{3}}^{3}$

Bước 2.1.13

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 - i^{3} {\sqrt{3}}^{3}$

Bước 2.1.14

Đưa $i^{2}$ ra ngoài.

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 - (i^{2} \cdot i) {\sqrt{3}}^{3}$

Bước 2.1.15

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 - (- 1 \cdot i) {\sqrt{3}}^{3}$

Bước 2.1.16

Viết lại $- 1 i$ ở dạng $- i$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 - - i {\sqrt{3}}^{3}$

Bước 2.1.17

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + 1 i {\sqrt{3}}^{3}$

Bước 2.1.18

Nhân $i$ với $1$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i {\sqrt{3}}^{3}$

Bước 2.1.19

Viết lại ${\sqrt{3}}^{3}$ ở dạng $\sqrt{3^{3}}$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i \sqrt{3^{3}}$

Bước 2.1.20

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i \sqrt{27}$

Bước 2.1.21

Viết lại $27$ ở dạng $3^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.21.1

Đưa $9$ ra ngoài $27$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i \sqrt{9 (3)}$

Bước 2.1.21.2

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i \sqrt{3^{2} \cdot 3}$

Bước 2.1.22

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i (3 \sqrt{3})$

Bước 2.1.23

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $i$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + 3 i \sqrt{3}$

Bước 2.2

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Trừ $9$ khỏi $1$ .

$- 3 i \sqrt{3} - 8 + 3 i \sqrt{3}$

Bước 2.2.2

Cộng $- 3 i \sqrt{3}$ và $3 i \sqrt{3}$ .

$0 - 8$

Bước 2.2.3

Trừ $8$ khỏi $0$ .

$- 8$

Bước 3

Đây là dạng lượng giác của một số phức trong đó $| z |$ là mô-đun và $θ$ là góc được tạo trên mặt phẳng phức.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Bước 4

Mô-đun của một số phức là khoảng cách từ gốc tọa độ trên mặt phẳng phức.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ trong đó $z = a + b i$

Bước 5

Thay các giá trị thực tế của $a = - 8$ và $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(- 8)}^{2}}$

Bước 6

Tìm $| z |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(- 8)}^{2}}$

Bước 6.2

Nâng $- 8$ lên lũy thừa $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + 64}$

Bước 6.3

Cộng $0$ và $64$ .

$| z | = \sqrt{64}$

Bước 6.4

Viết lại $64$ ở dạng $8^{2}$ .

$| z | = \sqrt{8^{2}}$

Bước 6.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$| z | = 8$

Bước 7

Góc của điểm trên mặt phẳng phức là nghịch đảo tang của phần phức trên phần thực.

$θ = \arctan (\frac{0}{- 8})$

Bước 8

Vì tang nghịch đảo của $\frac{0}{- 8}$ tạo ra một góc trong góc phần tư thứ hai, giá trị của góc là $π$ .

$θ = π$

Bước 9

Thay các giá trị của $θ = π$ và $| z | = 8$ .

$8 (\cos (π) + i \sin (π))$