Giải tích Ví dụ

$\frac{e^{x}}{8 + e^{x}}$

Bước 1

Viết $\frac{e^{x}}{8 + e^{x}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{e^{x}}{8 + e^{x}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 8 + e^{x}$ .

$f' (x) = \frac{(8 + e^{x}) \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} (8 + e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$f' (x) = \frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} (8 + e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $8 + e^{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f' (x) = \frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} (8) + \frac{d}{d x} (e^{x}))}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Bước 2.1.3.2

Vì $8$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $8$ đối với $x$ là $0$ .

$f' (x) = \frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (0 + \frac{d}{d x} (e^{x}))}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Bước 2.1.3.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f' (x) = \frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Bước 2.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$f' (x) = \frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Bước 2.1.5

Nhân $e^{x}$ với $e^{x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.5.1

Di chuyển $e^{x}$ .

$f' (x) = \frac{(8 + e^{x}) e^{x} - (e^{x} e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Bước 2.1.5.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f' (x) = \frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x + x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Bước 2.1.5.3

Cộng $x$ và $x$ .

$f' (x) = \frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Bước 2.1.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = \frac{8 e^{x} + e^{x} e^{x} - e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Bước 2.1.6.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.6.2.1

Nhân $e^{x}$ với $e^{x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.6.2.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f' (x) = \frac{8 e^{x} + e^{x + x} - e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Bước 2.1.6.2.1.2

Cộng $x$ và $x$ .

$f' (x) = \frac{8 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Bước 2.1.6.2.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $8 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.6.2.2.1

Trừ $e^{2 x}$ khỏi $e^{2 x}$ .

$f' (x) = \frac{8 e^{x} + 0}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Bước 2.1.6.2.2.2

Cộng $8 e^{x}$ và $0$ .

$f' (x) = \frac{8 e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Bước 2.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{8 e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$ .

$\frac{8 e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Bước 3

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{8 e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{8 e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}} = 0$

Bước 3.2

Cho tử bằng không.

$8 e^{x} = 0$

Bước 3.3

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (8 e^{x}) = \ln (0)$

Bước 3.3.2

Không thể giải phương trình vì $\ln (0)$ không xác định.

Không xác định

Bước 3.3.3

Không có đáp án nào cho $8 e^{x} = 0$

Không có đáp án

Bước 4

Không có giá trị nào của $x$ trong tập xác định của bài toán ban đầu có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Không tìm được điểm cực trị nào

Bước 5

Không có điểm nào làm cho đạo hàm $f' (x) = \frac{8 e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$ bằng $0$ hoặc không xác định. Khoảng được sử dụng để kiểm tra xem $f (x) = \frac{e^{x}}{8 + e^{x}}$ tăng hay giảm là $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Bước 6

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $1$ , từ khoảng $(- \infty, \infty)$ trong đạo hàm $f' (x) = \frac{8 e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương. Nếu kết quả là âm, thì biểu đồ giảm trên khoảng $(- \infty, \infty)$ . Nếu kết quả là dương, thì biểu đồ tăng trên khoảng $(- \infty, \infty)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f' (1) = \frac{8 e^{1}}{{(8 + e^{1})}^{2}}$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn.

$f' (1) = \frac{8 e}{{(8 + e)}^{2}}$

Bước 6.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{8 e}{{(8 + e)}^{2}}$ .

$\frac{8 e}{{(8 + e)}^{2}}$

Bước 7

Kết quả của việc thay thế $1$ thành $f' (x) = \frac{8 e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$ là $\frac{8 e}{{(8 + e)}^{2}}$ , là dương, do đó đồ thị tăng trong khoảng $(- \infty, \infty)$ .

Tăng trên $(- \infty, \infty)$ vì $\frac{8 e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}} > 0$

Bước 8

Tăng trong khoảng $(- \infty, \infty)$ có nghĩa là hàm luôn tăng.

Luôn tăng

Bước 9