Giải tích Ví dụ

$y = \sqrt[3]{x}$ , $y = 0$ , $x = 1$

Bước 1

Để tìm thể tích của vật rắn, trước tiên hãy xác định diện tích của mỗi lát cắt sau đó lấy tích phân trên khoảng biến thiên. Diện tích của mỗi lát cắt là diện tích của một đường tròn có bán kính $f (x)$ và $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} d x$ trong đó $f (x) = \sqrt[3]{x}$

Bước 2

Viết lại ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ ở dạng $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$V = \sqrt[3]{x^{2}}$

Bước 3

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x^{2}}$ ở dạng $x^{\frac{2}{3}}$ .

$V = π \int_{0}^{1} x^{\frac{2}{3}} d x$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{2}{3}}$ đối với $x$ là $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$V = π \frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}]_{0}^{1}$

Bước 5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{3}{5}$ và $x^{\frac{5}{3}}$ .

$V = π \frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}]_{0}^{1}$

Bước 5.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Tính $\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}$ tại $1$ và tại $0$ .

$V = π ((\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5}) - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Bước 5.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$V = π (\frac{3 \cdot 1}{5} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Bước 5.2.2.2

Nhân $3$ với $1$ .

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Bước 5.2.2.3

Viết lại $0$ ở dạng $0^{3}$ .

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Bước 5.2.2.4

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}{5})$

Bước 5.2.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}{5})$

Bước 5.2.2.5.2

Viết lại biểu thức.

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{3 \cdot 0^{5}}{5})$

Bước 5.2.2.6

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{3 \cdot 0}{5})$

Bước 5.2.2.7

Nhân $3$ với $0$ .

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{0}{5})$

Bước 5.2.2.8

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.8.1

Đưa $5$ ra ngoài $0$ .

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{5 (0)}{5})$

Bước 5.2.2.8.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.8.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $5$ .

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Bước 5.2.2.8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Bước 5.2.2.8.2.3

Viết lại biểu thức.

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{0}{1})$

Bước 5.2.2.8.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$V = π (\frac{3}{5} - 0)$

Bước 5.2.2.9

Nhân $- 1$ với $0$ .

$V = π (\frac{3}{5} + 0)$

Bước 5.2.2.10

Cộng $\frac{3}{5}$ và $0$ .

$V = π (\frac{3}{5})$

Bước 5.2.2.11

Kết hợp $π$ và $\frac{3}{5}$ .

$V = \frac{π \cdot 3}{5}$

Bước 5.2.2.12

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $π$ .

$V = \frac{3 π}{5}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$V = \frac{3 π}{5}$

Dạng thập phân:

$V = 1.88495559 \dots$

Bước 7