Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 e^{2 x} - x^{2}}{3 \cos (π + 2 x)}$

Bước 1

Chuyển số hạng $\frac{1}{3}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 e^{2 x} - x^{2}}{\cos (π + 2 x)}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1 + 2 e^{2 x} - x^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (π + 2 x)}$

Bước 3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 2 e^{2 x} - lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (π + 2 x)}$

Bước 4

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + lim_{x \to 0} 2 e^{2 x} - lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (π + 2 x)}$

Bước 5

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 lim_{x \to 0} e^{2 x} - lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (π + 2 x)}$

Bước 6

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 e^{lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (π + 2 x)}$

Bước 7

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 e^{2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (π + 2 x)}$

Bước 8

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 e^{2 lim_{x \to 0} x} - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (π + 2 x)}$

Bước 9

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 e^{2 lim_{x \to 0} x} - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{\cos (lim_{x \to 0} π + 2 x)}$

Bước 10

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 e^{2 lim_{x \to 0} x} - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{\cos (lim_{x \to 0} π + lim_{x \to 0} 2 x)}$

Bước 11

Tính giới hạn của $π$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 e^{2 lim_{x \to 0} x} - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{\cos (π + lim_{x \to 0} 2 x)}$

Bước 12

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 e^{2 lim_{x \to 0} x} - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{\cos (π + 2 lim_{x \to 0} x)}$

Bước 13

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 e^{2 \cdot 0} - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{\cos (π + 2 lim_{x \to 0} x)}$

Bước 13.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 e^{2 \cdot 0} - 0^{2}}{\cos (π + 2 lim_{x \to 0} x)}$

Bước 13.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 e^{2 \cdot 0} - 0^{2}}{\cos (π + 2 \cdot 0)}$

Bước 14

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.1

Nhân $2$ với $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 e^{0} - 0^{2}}{\cos (π + 2 \cdot 0)}$

Bước 14.1.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 \cdot 1 - 0^{2}}{\cos (π + 2 \cdot 0)}$

Bước 14.1.3

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 - 0^{2}}{\cos (π + 2 \cdot 0)}$

Bước 14.1.4

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 - 0}{\cos (π + 2 \cdot 0)}$

Bước 14.1.5

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 + 0}{\cos (π + 2 \cdot 0)}$

Bước 14.1.6

Cộng $1 + 2$ và $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2}{\cos (π + 2 \cdot 0)}$

Bước 14.1.7

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{\cos (π + 2 \cdot 0)}$

Bước 14.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Nhân $2$ với $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{\cos (π + 0)}$

Bước 14.2.2

Cộng $π$ và $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{\cos (π)}$

Bước 14.2.3

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ hai.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{- \cos (0)}$

Bước 14.2.4

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{- 1 \cdot 1}$

Bước 14.2.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{- 1}$

Bước 14.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{- 1}$

Bước 14.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{- 1}$

Bước 14.4

Chia $1$ cho $- 1$ .

$- 1$