Giải tích Ví dụ

$\frac{(- e^{- t} t + e^{- t})}{e^{t}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ là $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ trong đó $f (t) = - e^{- t} t + e^{- t}$ và $g (t) = e^{t}$ .

$\frac{e^{t} \frac{d}{d t} [- e^{- t} t + e^{- t}] - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{{(e^{t})}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân các số mũ trong ${(e^{t})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{t} \frac{d}{d t} [- e^{- t} t + e^{- t}] - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{t \cdot 2}}$

Bước 2.1.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $t$ .

$\frac{e^{t} \frac{d}{d t} [- e^{- t} t + e^{- t}] - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- e^{- t} t + e^{- t}$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [- e^{- t} t] + \frac{d}{d t} [e^{- t}]$ .

$\frac{e^{t} (\frac{d}{d t} [- e^{- t} t] + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Bước 2.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- e^{- t} t$ đối với $t$ là $- \frac{d}{d t} [e^{- t} t]$ .

$\frac{e^{t} (- \frac{d}{d t} [e^{- t} t] + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ là $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ trong đó $f (t) = e^{- t}$ và $g (t) = t$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} \frac{d}{d t} [t] + t \frac{d}{d t} [e^{- t}]) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} \cdot 1 + t \frac{d}{d t} [e^{- t}]) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Bước 4.2

Nhân $e^{- t}$ với $1$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t \frac{d}{d t} [e^{- t}]) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = e^{t}$ và $g (t) = - t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $- t$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [- t])) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Bước 5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [- t])) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Bước 5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $- t$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t])) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Bước 6

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- t$ đối với $t$ là $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t]))) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Bước 6.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (e^{- t} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Bước 6.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (e^{- t} \cdot - 1)) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Bước 6.3.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{- t}$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (- 1 \cdot e^{- t})) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Bước 6.3.3

Viết lại $- 1 e^{- t}$ ở dạng $- e^{- t}$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (- e^{- t})) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Bước 7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = e^{t}$ và $g (t) = - t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $- t$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (- e^{- t})) + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- t]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Bước 7.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (- e^{- t})) + e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- t]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Bước 7.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $- t$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (- e^{- t})) + e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Bước 8

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- t$ đối với $t$ là $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (- e^{- t})) + e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t])) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Bước 8.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (- e^{- t})) + e^{- t} (- 1 \cdot 1)) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Bước 8.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (- e^{- t})) + e^{- t} \cdot - 1) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Bước 8.3.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{- t}$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (- e^{- t})) - 1 \cdot e^{- t}) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Bước 8.3.3

Viết lại $- 1 e^{- t}$ ở dạng $- e^{- t}$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (- e^{- t})) - e^{- t}) - (- e^{- t} t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Bước 9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ là $a^{t} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{e^{t} (- (e^{- t} + t (- e^{- t})) - e^{- t}) - (- e^{- t} t + e^{- t}) e^{t}}{e^{2 t}}$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{e^{t} (- e^{- t} - (t (- e^{- t})) - e^{- t}) - (- e^{- t} t + e^{- t}) e^{t}}{e^{2 t}}$

Bước 10.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- (t (- e^{- t}))) + e^{t} (- e^{- t}) - (- e^{- t} t + e^{- t}) e^{t}}{e^{2 t}}$

Bước 10.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- (t (- e^{- t}))) + e^{t} (- e^{- t}) + (- (- e^{- t} t) - e^{- t}) e^{t}}{e^{2 t}}$

Bước 10.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- (t (- e^{- t}))) + e^{t} (- e^{- t}) - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Bước 10.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{- e^{t} e^{- t} + e^{t} (- (t (- e^{- t}))) + e^{t} (- e^{- t}) - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Bước 10.5.1.2

Nhân $e^{t}$ với $e^{- t}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1.2.1

Di chuyển $e^{- t}$ .

$\frac{- (e^{- t} e^{t}) + e^{t} (- (t (- e^{- t}))) + e^{t} (- e^{- t}) - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Bước 10.5.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{- e^{- t + t} + e^{t} (- (t (- e^{- t}))) + e^{t} (- e^{- t}) - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Bước 10.5.1.2.3

Cộng $- t$ và $t$ .

$\frac{- e^{0} + e^{t} (- (t (- e^{- t}))) + e^{t} (- e^{- t}) - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Bước 10.5.1.3

Rút gọn $- e^{0}$ .

$\frac{- 1 + e^{t} (- (t (- e^{- t}))) + e^{t} (- e^{- t}) - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Bước 10.5.1.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{- 1 - 1 \cdot - 1 e^{t} (t e^{- t}) + e^{t} (- e^{- t}) - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Bước 10.5.1.5

Nhân $e^{t}$ với $e^{- t}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1.5.1

Di chuyển $e^{- t}$ .

$\frac{- 1 - 1 \cdot - 1 (e^{- t} e^{t}) t + e^{t} (- e^{- t}) - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Bước 10.5.1.5.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{- 1 - 1 \cdot - 1 e^{- t + t} t + e^{t} (- e^{- t}) - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Bước 10.5.1.5.3

Cộng $- t$ và $t$ .

$\frac{- 1 - 1 \cdot - 1 e^{0} t + e^{t} (- e^{- t}) - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Bước 10.5.1.6

Rút gọn $- 1 \cdot - 1 e^{0} t$ .

$\frac{- 1 - 1 \cdot - 1 t + e^{t} (- e^{- t}) - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Bước 10.5.1.7

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{- 1 + 1 t + e^{t} (- e^{- t}) - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Bước 10.5.1.8

Nhân $t$ với $1$ .

$\frac{- 1 + t + e^{t} (- e^{- t}) - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Bước 10.5.1.9

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{- 1 + t - e^{t} e^{- t} - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Bước 10.5.1.10

Nhân $e^{t}$ với $e^{- t}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1.10.1

Di chuyển $e^{- t}$ .

$\frac{- 1 + t - (e^{- t} e^{t}) - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Bước 10.5.1.10.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{- 1 + t - e^{- t + t} - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Bước 10.5.1.10.3

Cộng $- t$ và $t$ .

$\frac{- 1 + t - e^{0} - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Bước 10.5.1.11

Rút gọn $- e^{0}$ .

$\frac{- 1 + t - 1 - (- e^{- t} t) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Bước 10.5.1.12

Nhân $e^{- t}$ với $e^{t}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1.12.1

Di chuyển $e^{t}$ .

$\frac{- 1 + t - 1 - (- (e^{t} e^{- t}) t) - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Bước 10.5.1.12.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{- 1 + t - 1 - (- e^{t - t} t) - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Bước 10.5.1.12.3

Trừ $t$ khỏi $t$ .

$\frac{- 1 + t - 1 - (- e^{0} t) - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Bước 10.5.1.13

Rút gọn $- (- e^{0} t)$ .

$\frac{- 1 + t - 1 - (- 1 t) - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Bước 10.5.1.14

Viết lại $- 1 t$ ở dạng $- t$ .

$\frac{- 1 + t - 1 - - t - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Bước 10.5.1.15

Nhân $- - t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1.15.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{- 1 + t - 1 + 1 t - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Bước 10.5.1.15.2

Nhân $t$ với $1$ .

$\frac{- 1 + t - 1 + t - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

Bước 10.5.1.16

Nhân $e^{- t}$ với $e^{t}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1.16.1

Di chuyển $e^{t}$ .

$\frac{- 1 + t - 1 + t - (e^{t} e^{- t})}{e^{2 t}}$

Bước 10.5.1.16.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{- 1 + t - 1 + t - e^{t - t}}{e^{2 t}}$

Bước 10.5.1.16.3

Trừ $t$ khỏi $t$ .

$\frac{- 1 + t - 1 + t - e^{0}}{e^{2 t}}$

Bước 10.5.1.17

Rút gọn $- e^{0}$ .

$\frac{- 1 + t - 1 + t - 1}{e^{2 t}}$

Bước 10.5.2

Trừ $1$ khỏi $- 1$ .

$\frac{t - 2 + t - 1}{e^{2 t}}$

Bước 10.5.3

Cộng $t$ và $t$ .

$\frac{2 t - 2 - 1}{e^{2 t}}$

Bước 10.5.4

Trừ $1$ khỏi $- 2$ .

$\frac{2 t - 3}{e^{2 t}}$