Giải tích Ví dụ

$\frac{4 t}{\sqrt[3]{t^{2} + 3}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{t^{2} + 3}$ ở dạng ${(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{4 t}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}}]$

Bước 1.2

Vì $4$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $\frac{4 t}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ đối với $t$ là $4 \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$4 \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ là $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ trong đó $f (t) = t$ và $g (t) = {(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}]}{{({(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân các số mũ trong ${({(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}]}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

Bước 3.1.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $2$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}]}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}]}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.3

Nhân ${(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$ với $1$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - t \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}]}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = t^{\frac{1}{3}}$ và $g (t) = t^{2} + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $t^{2} + 3$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - t (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d t} [t^{2} + 3])}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{3}$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - t (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3])}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $t^{2} + 3$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - t (\frac{1}{3} {(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3])}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 5

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - t (\frac{1}{3} {(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3])}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 6

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - t (\frac{1}{3} {(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3])}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - t (\frac{1}{3} {(t^{2} + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3])}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 8

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - t (\frac{1}{3} {(t^{2} + 3)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3])}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 8.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - t (\frac{1}{3} {(t^{2} + 3)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3])}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 9

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - t (\frac{1}{3} {(t^{2} + 3)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3])}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 9.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và ${(t^{2} + 3)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - t (\frac{{(t^{2} + 3)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3])}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 9.3

Di chuyển ${(t^{2} + 3)}^{- \frac{2}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - t (\frac{1}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3])}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 9.4

Kết hợp $\frac{1}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ và $t$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - \frac{t}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3]}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 10

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $t^{2} + 3$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - \frac{t}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3])}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - \frac{t}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} (2 t + \frac{d}{d t} [3])}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 12

Vì $3$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $3$ đối với $t$ là $0$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - \frac{t}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} (2 t + 0)}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 13

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Cộng $2 t$ và $0$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - \frac{t}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} (2 t)}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 13.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - 2 \frac{t}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} t}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 13.3

Kết hợp $- 2$ và $\frac{t}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 t}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} t}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 13.4

Kết hợp $\frac{- 2 t}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ và $t$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 t \cdot t}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 14

Nâng $t$ lên lũy thừa $1$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (t^{1} t)}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 15

Nâng $t$ lên lũy thừa $1$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (t^{1} t^{1})}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 16

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 t^{1 + 1}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 17

Cộng $1$ và $1$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 18

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - \frac{2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 19

Để viết ${(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 20

Kết hợp ${(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$ và $\frac{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$4 \frac{\frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} (3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 21

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$4 \frac{\frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} (3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}) - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 22

Nhân ${(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$ với ${(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1

Di chuyển ${(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}$ .

$4 \frac{\frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}} {(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 22.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$4 \frac{\frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 22.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$4 \frac{\frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3 - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 22.4

Cộng $2$ và $1$ .

$4 \frac{\frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3 - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 22.5

Chia $3$ cho $3$ .

$4 \frac{\frac{{(t^{2} + 3)}^{1} \cdot 3 - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 23

Rút gọn ${(t^{2} + 3)}^{1} \cdot 3$ .

$4 \frac{\frac{(t^{2} + 3) \cdot 3 - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 24

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $t^{2} + 3$ .

$4 \frac{\frac{3 \cdot (t^{2} + 3) - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 25

Viết lại $\frac{\frac{3 (t^{2} + 3) - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ ở dạng một tích.

$4 (\frac{3 (t^{2} + 3) - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}})$

Bước 26

Nhân $\frac{3 (t^{2} + 3) - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ với $\frac{1}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$4 \frac{3 (t^{2} + 3) - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}} {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 27

Nhân ${(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}$ với ${(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 27.1

Di chuyển ${(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}$ .

$4 \frac{3 (t^{2} + 3) - 2 t^{2}}{3 ({(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}} {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}})}$

Bước 27.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$4 \frac{3 (t^{2} + 3) - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Bước 27.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$4 \frac{3 (t^{2} + 3) - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Bước 27.4

Cộng $2$ và $2$ .

$4 \frac{3 (t^{2} + 3) - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 28

Kết hợp $4$ và $\frac{3 (t^{2} + 3) - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{4 (3 (t^{2} + 3) - 2 t^{2})}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 29

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 29.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 (3 t^{2} + 3 \cdot 3 - 2 t^{2})}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 29.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 (3 t^{2}) + 4 (3 \cdot 3) + 4 (- 2 t^{2})}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 29.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 29.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 29.3.1.1

Nhân $3$ với $4$ .

$\frac{12 t^{2} + 4 (3 \cdot 3) + 4 (- 2 t^{2})}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 29.3.1.2

Nhân $4 (3 \cdot 3)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 29.3.1.2.1

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{12 t^{2} + 4 \cdot 9 + 4 (- 2 t^{2})}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 29.3.1.2.2

Nhân $4$ với $9$ .

$\frac{12 t^{2} + 36 + 4 (- 2 t^{2})}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 29.3.1.3

Nhân $- 2$ với $4$ .

$\frac{12 t^{2} + 36 - 8 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 29.3.2

Trừ $8 t^{2}$ khỏi $12 t^{2}$ .

$\frac{4 t^{2} + 36}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 29.4

Đưa $4$ ra ngoài $4 t^{2} + 36$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 29.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 t^{2}$ .

$\frac{4 (t^{2}) + 36}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 29.4.2

Đưa $4$ ra ngoài $36$ .

$\frac{4 t^{2} + 4 \cdot 9}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 29.4.3

Đưa $4$ ra ngoài $4 t^{2} + 4 \cdot 9$ .

$\frac{4 (t^{2} + 9)}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{4}{3}}}$