Giải tích Ví dụ

$2 \cos (\frac{x}{2})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 \cos (\frac{x}{2})$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{x}{2}$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Bước 1.2.2

Đạo hàm của $\cos (u)$ đối với $u$ là $- \sin (u)$ .

$2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Bước 1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x}{2}$ .

$2 (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 (\sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Bước 1.3.2

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \sin (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.3.3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 2$ .

$\frac{- 2}{2} \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.3.2

Kết hợp $\frac{- 2}{2}$ và $\sin (\frac{x}{2})$ .

$\frac{- 2 \sin (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.3.3

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 \sin (\frac{x}{2})$ .

$\frac{2 (- \sin (\frac{x}{2}))}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.3.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (- \sin (\frac{x}{2}))}{2 (1)} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (- \sin (\frac{x}{2}))}{2 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- \sin (\frac{x}{2})}{1} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.3.3.2.4

Chia $- \sin (\frac{x}{2})$ cho $1$ .

$- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \sin (\frac{x}{2}) \cdot 1$

Bước 1.3.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f' (x) = - \sin (\frac{x}{2})$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \sin (\frac{x}{2})$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})]$ .

$- \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{x}{2}$ .

$- (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Bước 2.2.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$- (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x}{2}$ .

$- (\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\cos (\frac{x}{2})$ .

$- \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

Bước 2.3.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$