Giải tích Ví dụ

$\frac{\ln (x)}{x}$

Bước 1

Viết $\frac{\ln (x)}{x}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 2.1.2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 2.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 2.1.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 2.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Bước 2.1.3.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Bước 2.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ .

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Bước 3

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$

Bước 3.2

Cho tử bằng không.

$1 - \ln (x) = 0$

Bước 3.3

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- \ln (x) = - 1$

Bước 3.3.2

Chia mỗi số hạng trong $- \ln (x) = - 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- \ln (x) = - 1$ cho $- 1$ .

$\frac{- \ln (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 3.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\ln (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 3.3.2.2.2

Chia $\ln (x)$ cho $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 3.3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.3.1

Chia $- 1$ cho $- 1$ .

$\ln (x) = 1$

Bước 3.3.3

Để giải tìm $x$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (x)} = e^{1}$

Bước 3.3.4

Viết lại $\ln (x) = 1$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{1} = x$

Bước 3.3.5

Viết lại phương trình ở dạng $x = e^{1}$ .

$x = e$

Bước 4

Các giá trị làm cho đạo hàm bằng $0$ là $e$ .

$e$

Bước 5

Tìm nơi đạo hàm không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đặt mẫu số trong $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x^{2} = 0$

Bước 5.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{0}$

Bước 5.2.2

Rút gọn $\pm \sqrt{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Bước 5.2.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 0$

Bước 5.2.2.3

Cộng hoặc trừ $0$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 5.3

Đặt đối số trong $\ln (x)$ nhỏ hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x \leq 0$

Bước 5.4

Phương trình không xác định tại mẫu số bằng $0$ , đối số của một căn bậc hai nhỏ hơn $0$ , hoặc đối số của một logarit nhỏ hơn hoặc bằng $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Bước 6

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, 0) \cup (0, e) \cup (e, \infty)$

Bước 7

Loại bỏ các khoảng không nằm trong tập xác định.

$(0, e)$

Bước 8

Thay một giá trị từ khoảng $(0, e)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Thay thế biến $x$ bằng $1.35914085$ trong biểu thức.

$f' (1.35914085) = \frac{1 - \ln (1.35914085)}{{(1.35914085)}^{2}}$

Bước 8.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Nâng $1.35914085$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (1.35914085) = \frac{1 - \ln (1.35914085)}{1.84726385}$

Bước 8.2.2

Thay thế $e$ bằng một giá trị xấp xỉ.

$f' (1.35914085) = \frac{1 - \log_{2.71828182} (1.35914085)}{1.84726385}$

Bước 8.2.3

Logarit cơ số $2.71828182$ của $1.35914085$ xấp xỉ bằng $0.30685277$ .

$f' (1.35914085) = \frac{1 - 1 \cdot 0.30685277}{1.84726385}$

Bước 8.2.4

Nhân $- 1$ với $0.30685277$ .

$f' (1.35914085) = \frac{1 - 0.30685277}{1.84726385}$

Bước 8.2.5

Trừ $0.30685277$ khỏi $1$ .

$f' (1.35914085) = \frac{0.69314722}{1.84726385}$

Bước 8.2.6

Chia $0.69314722$ cho $1.84726385$ .

$f' (1.35914085) = 0.37522914$

Bước 8.2.7

Câu trả lời cuối cùng là $0.37522914$ .

$0.37522914$

Bước 8.3

Tại $x = 1.35914085$ đạo hàm là $0.37522914$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(0, e)$ .

Tăng trên $(0, e)$ vì $f' (x) > 0$

Bước 9

Loại bỏ các khoảng không nằm trong tập xác định.

$(0, e), (e, \infty)$

Bước 10

Thay một giá trị từ khoảng $(e, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Thay thế biến $x$ bằng $3.7182817$ trong biểu thức.

$f' (3.7182817) = \frac{1 - \ln (3.7182817)}{{(3.7182817)}^{2}}$

Bước 10.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Nâng $3.7182817$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (3.7182817) = \frac{1 - \ln (3.7182817)}{13.8256188}$

Bước 10.2.2

Thay thế $e$ bằng một giá trị xấp xỉ.

$f' (3.7182817) = \frac{1 - \log_{2.71828182} (3.7182817)}{13.8256188}$

Bước 10.2.3

Logarit cơ số $2.71828182$ của $3.7182817$ xấp xỉ bằng $1.31326165$ .

$f' (3.7182817) = \frac{1 - 1 \cdot 1.31326165}{13.8256188}$

Bước 10.2.4

Nhân $- 1$ với $1.31326165$ .

$f' (3.7182817) = \frac{1 - 1.31326165}{13.8256188}$

Bước 10.2.5

Trừ $1.31326165$ khỏi $1$ .

$f' (3.7182817) = \frac{- 0.31326165}{13.8256188}$

Bước 10.2.6

Chia $- 0.31326165$ cho $13.8256188$ .

$f' (3.7182817) = - 0.02265805$

Bước 10.2.7

Câu trả lời cuối cùng là $- 0.02265805$ .

$- 0.02265805$

Bước 10.3

Tại $x = 3.7182817$ đạo hàm là $- 0.02265805$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(e, \infty)$ .

Giảm trên $(e, \infty)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 11

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Tăng trên: $(0, e)$

Giảm trên: $(e, \infty)$

Bước 12