Giải tích Ví dụ

$\sum_{i = 1}^{4} {(i^{2} + 1)}^{2}$

Bước 1

Rút gọn tổng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại ${(i^{2} + 1)}^{2}$ ở dạng $(i^{2} + 1) (i^{2} + 1)$ .

$(i^{2} + 1) (i^{2} + 1)$

Bước 1.2

Khai triển $(i^{2} + 1) (i^{2} + 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$i^{2} (i^{2} + 1) + 1 (i^{2} + 1)$

Bước 1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$i^{2} i^{2} + i^{2} \cdot 1 + 1 (i^{2} + 1)$

Bước 1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$i^{2} i^{2} + i^{2} \cdot 1 + 1 i^{2} + 1 \cdot 1$

Bước 1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Nhân $i^{2}$ với $i^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$i^{2 + 2} + i^{2} \cdot 1 + 1 i^{2} + 1 \cdot 1$

Bước 1.3.1.1.2

Cộng $2$ và $2$ .

$i^{4} + i^{2} \cdot 1 + 1 i^{2} + 1 \cdot 1$

Bước 1.3.1.2

Nhân $i^{2}$ với $1$ .

$i^{4} + i^{2} + 1 i^{2} + 1 \cdot 1$

Bước 1.3.1.3

Nhân $i^{2}$ với $1$ .

$i^{4} + i^{2} + i^{2} + 1 \cdot 1$

Bước 1.3.1.4

Nhân $1$ với $1$ .

$i^{4} + i^{2} + i^{2} + 1$

Bước 1.3.2

Cộng $i^{2}$ và $i^{2}$ .

$i^{4} + 2 i^{2} + 1$

Bước 1.4

Viết lại tổng.

$\sum_{i = 1}^{4} i^{4} + 2 i^{2} + 1$

Bước 2

Khai triển chuỗi số cho mỗi giá trị của $i$ .

$1^{4} + 2 \cdot 1^{2} + 1 + 2^{4} + 2 \cdot 2^{2} + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nâng $1$ lên lũy thừa $4$ .

$1 + 2 \cdot 1^{2} + 1 + 2^{4} + 2 \cdot 2^{2} + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Bước 3.2

Nâng $1$ lên lũy thừa $2$ .

$1 + 2 \cdot 1 + 1 + 2^{4} + 2 \cdot 2^{2} + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Bước 3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$1 + 2 + 1 + 2^{4} + 2 \cdot 2^{2} + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Bước 3.4

Cộng $1$ và $2$ .

$3 + 1 + 2^{4} + 2 \cdot 2^{2} + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Bước 3.5

Cộng $3$ và $1$ .

$4 + 2^{4} + 2 \cdot 2^{2} + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Bước 3.6

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$4 + 16 + 2 \cdot 2^{2} + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Bước 3.7

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$4 + 16 + 2 \cdot 4 + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Bước 3.8

Nhân $2$ với $4$ .

$4 + 16 + 8 + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Bước 3.9

Cộng $16$ và $8$ .

$4 + 24 + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Bước 3.10

Cộng $24$ và $1$ .

$4 + 25 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Bước 3.11

Cộng $4$ và $25$ .

$29 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Bước 3.12

Nâng $3$ lên lũy thừa $4$ .

$29 + 81 + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Bước 3.13

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$29 + 81 + 2 \cdot 9 + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Bước 3.14

Nhân $2$ với $9$ .

$29 + 81 + 18 + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Bước 3.15

Cộng $81$ và $18$ .

$29 + 99 + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Bước 3.16

Cộng $99$ và $1$ .

$29 + 100 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Bước 3.17

Cộng $29$ và $100$ .

$129 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Bước 3.18

Nâng $4$ lên lũy thừa $4$ .

$129 + 256 + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Bước 3.19

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$129 + 256 + 2 \cdot 16 + 1$

Bước 3.20

Nhân $2$ với $16$ .

$129 + 256 + 32 + 1$

Bước 3.21

Cộng $256$ và $32$ .

$129 + 288 + 1$

Bước 3.22

Cộng $288$ và $1$ .

$129 + 289$

Bước 3.23

Cộng $129$ và $289$ .

$418$