Giải tích Ví dụ

$y^{3} - 27 y = x^{2} - 90$

Bước 1

Set each solution of $y^{3} - 27 y$ as a function of $x$ .

$y = x^{2} - 90 \to f (x) = x^{2} - 90$

Bước 2

Because the $y$ variable in the equation $y^{3} - 27 y = x^{2} - 90$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y^{3} - 27 y) = \frac{d}{d x} (x^{2} - 90)$

Bước 2.2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y^{3} - 27 y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 y]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 y]$

Bước 2.2.2

Tính $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 27 y]$

Bước 2.2.2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 27 y]$

Bước 2.2.2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 27 y]$

Bước 2.2.2.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 27 y]$

Bước 2.2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 27 y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Vì $- 27$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 27 y$ đối với $x$ là $- 27 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 y^{2} y' - 27 \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.2.3.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$3 y^{2} y' - 27 y'$

Bước 2.3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 90$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 90]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 90]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 90]$

Bước 2.3.3

Vì $- 90$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 90$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x + 0$

Bước 2.3.4

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 x$

Bước 2.4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$3 y^{2} y' - 27 y' = 2 x$

Bước 2.5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Đưa $3 y'$ ra ngoài $3 y^{2} y' - 27 y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.1

Đưa $3 y'$ ra ngoài $3 y^{2} y'$ .

$3 y' y^{2} - 27 y' = 2 x$

Bước 2.5.1.2

Đưa $3 y'$ ra ngoài $- 27 y'$ .

$3 y' y^{2} + 3 y' \cdot - 9 = 2 x$

Bước 2.5.1.3

Đưa $3 y'$ ra ngoài $3 y' y^{2} + 3 y' \cdot - 9$ .

$3 y' (y^{2} - 9) = 2 x$

Bước 2.5.2

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$3 y' (y^{2} - 3^{2}) = 2 x$

Bước 2.5.3

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.3.1

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = y$ và $b = 3$ .

$3 y' ((y + 3) (y - 3)) = 2 x$

Bước 2.5.3.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$3 y' (y + 3) (y - 3) = 2 x$

Bước 2.5.4

Chia mỗi số hạng trong $3 y' (y + 3) (y - 3) = 2 x$ cho $3 (y + 3) (y - 3)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.4.1

Chia mỗi số hạng trong $3 y' (y + 3) (y - 3) = 2 x$ cho $3 (y + 3) (y - 3)$ .

$\frac{3 y' (y + 3) (y - 3)}{3 (y + 3) (y - 3)} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

Bước 2.5.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 y' (y + 3) (y - 3)}{3 (y + 3) (y - 3)} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

Bước 2.5.4.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y' (y + 3) (y - 3)}{(y + 3) (y - 3)} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

Bước 2.5.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $y + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (y + 3) (y - 3)}{(y + 3) (y - 3)} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

Bước 2.5.4.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

Bước 2.5.4.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $y - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.4.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

Bước 2.5.4.2.3.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

Bước 2.6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

Bước 3

Đặt đạo hàm bằng $0$ sau đó giải phương trình $\frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Cho tử bằng không.

$2 x = 0$

Bước 3.2

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 0$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 0$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 3.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Bước 3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Chia $0$ cho $2$ .

$x = 0$

Bước 4

Solve the function $f (x) = x^{2} - 90$ at $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f (0) = {(0)}^{2} - 90$

Bước 4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f (0) = 0 - 90$

Bước 4.2.2

Trừ $90$ khỏi $0$ .

$f (0) = - 90$

Bước 4.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 90$ .

$- 90$

Bước 5

The horizontal tangent lines are $y = - 90$

$y = - 90$

Bước 6