Giải tích Ví dụ

$f (x) = 2 x - 20$ ; $[9, 13]$

Bước 1

Giải bằng phương pháp thay thế để tìm phần giao giữa hai đường cong.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Loại bỏ các vế bằng nhau của mỗi phương trình sau đó kết hợp.

$2 x - 20 = 0$

Bước 1.2

Giải $2 x - 20 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Cộng $20$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 x = 20$

Bước 1.2.2

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 20$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 20$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{20}{2}$

Bước 1.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{20}{2}$

Bước 1.2.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{20}{2}$

Bước 1.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.3.1

Chia $20$ cho $2$ .

$x = 10$

Bước 1.3

Thay $10$ bằng $x$ .

$y = 0$

Bước 1.4

Đáp án cho hệ là tập hợp đầy đủ của các cặp có thứ tự cũng chính là các đáp án hợp lệ.

$(10, 0)$

Bước 2

Diện tích của vùng giữa các đường cong được xác định bằng tích phân của đường cong trên trừ đi tích phân của đường cong dưới trên mỗi vùng. Các vùng được xác định bởi các giao điểm của các đường cong. Điều này có thể được thực hiện theo phương pháp đại số hoặc phương pháp vẽ đồ thị.

$A r e a = \int_{9}^{10} 0 d x - \int_{9}^{10} 2 x - 20 d x$

Bước 3

Lấy tích phân để tìm diện tích giữa $9$ và $10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp các tích phân thành một tích phân.

$\int_{9}^{10} 0 - (2 x - 20) d x$

Bước 3.2

Trừ $2 x - 20$ khỏi $0$ .

$\int_{9}^{10} - (2 x - 20) d x$

Bước 3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int_{9}^{10} - (2 x) + 20 d x$

Bước 3.4

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 x - - 20$

Bước 3.4.2

Nhân $- 1$ với $- 20$ .

$- 2 x + 20$

$\int_{9}^{10} - 2 x + 20 d x$

Bước 3.5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{9}^{10} - 2 x d x + \int_{9}^{10} 20 d x$

Bước 3.6

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$- 2 \int_{9}^{10} x d x + \int_{9}^{10} 20 d x$

Bước 3.7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{9}^{10}) + \int_{9}^{10} 20 d x$

Bước 3.8

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{9}^{10}) + \int_{9}^{10} 20 d x$

Bước 3.9

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{9}^{10}) + 20 x]_{9}^{10}$

Bước 3.10

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.1

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $10$ và tại $9$ .

$- 2 ((\frac{10^{2}}{2}) - \frac{9^{2}}{2}) + 20 x]_{9}^{10}$

Bước 3.10.2

Tính $20 x$ tại $10$ và tại $9$ .

$- 2 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{9^{2}}{2}) + 20 \cdot 10 - 20 \cdot 9$

Bước 3.10.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.3.1

Nâng $10$ lên lũy thừa $2$ .

$- 2 (\frac{100}{2} - \frac{9^{2}}{2}) + 20 \cdot 10 - 20 \cdot 9$

Bước 3.10.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $100$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $100$ .

$- 2 (\frac{2 \cdot 50}{2} - \frac{9^{2}}{2}) + 20 \cdot 10 - 20 \cdot 9$

Bước 3.10.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$- 2 (\frac{2 \cdot 50}{2 (1)} - \frac{9^{2}}{2}) + 20 \cdot 10 - 20 \cdot 9$

Bước 3.10.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 2 (\frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 1} - \frac{9^{2}}{2}) + 20 \cdot 10 - 20 \cdot 9$

Bước 3.10.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$- 2 (\frac{50}{1} - \frac{9^{2}}{2}) + 20 \cdot 10 - 20 \cdot 9$

Bước 3.10.3.2.2.4

Chia $50$ cho $1$ .

$- 2 (50 - \frac{9^{2}}{2}) + 20 \cdot 10 - 20 \cdot 9$

Bước 3.10.3.3

Nâng $9$ lên lũy thừa $2$ .

$- 2 (50 - \frac{81}{2}) + 20 \cdot 10 - 20 \cdot 9$

Bước 3.10.3.4

Để viết $50$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$- 2 (50 \cdot \frac{2}{2} - \frac{81}{2}) + 20 \cdot 10 - 20 \cdot 9$

Bước 3.10.3.5

Kết hợp $50$ và $\frac{2}{2}$ .

$- 2 (\frac{50 \cdot 2}{2} - \frac{81}{2}) + 20 \cdot 10 - 20 \cdot 9$

Bước 3.10.3.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- 2 \frac{50 \cdot 2 - 81}{2} + 20 \cdot 10 - 20 \cdot 9$

Bước 3.10.3.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.3.7.1

Nhân $50$ với $2$ .

$- 2 \frac{100 - 81}{2} + 20 \cdot 10 - 20 \cdot 9$

Bước 3.10.3.7.2

Trừ $81$ khỏi $100$ .

$- 2 (\frac{19}{2}) + 20 \cdot 10 - 20 \cdot 9$

Bước 3.10.3.8

Kết hợp $- 2$ và $\frac{19}{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot 19}{2} + 20 \cdot 10 - 20 \cdot 9$

Bước 3.10.3.9

Nhân $- 2$ với $19$ .

$\frac{- 38}{2} + 20 \cdot 10 - 20 \cdot 9$

Bước 3.10.3.10

Triệt tiêu thừa số chung của $- 38$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.3.10.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 38$ .

$\frac{2 \cdot - 19}{2} + 20 \cdot 10 - 20 \cdot 9$

Bước 3.10.3.10.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.3.10.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot - 19}{2 (1)} + 20 \cdot 10 - 20 \cdot 9$

Bước 3.10.3.10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot - 19}{2 \cdot 1} + 20 \cdot 10 - 20 \cdot 9$

Bước 3.10.3.10.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 19}{1} + 20 \cdot 10 - 20 \cdot 9$

Bước 3.10.3.10.2.4

Chia $- 19$ cho $1$ .

$- 19 + 20 \cdot 10 - 20 \cdot 9$

Bước 3.10.3.11

Nhân $20$ với $10$ .

$- 19 + 200 - 20 \cdot 9$

Bước 3.10.3.12

Nhân $- 20$ với $9$ .

$- 19 + 200 - 180$

Bước 3.10.3.13

Trừ $180$ khỏi $200$ .

$- 19 + 20$

Bước 3.10.3.14

Cộng $- 19$ và $20$ .

$1$

Bước 4

$A r e a = \int_{10}^{13} 2 x - 20 d x - \int_{10}^{13} 0 d x$

Bước 5

Lấy tích phân để tìm diện tích giữa $10$ và $13$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp các tích phân thành một tích phân.

$\int_{10}^{13} 2 x - 20 - (0) d x$

Bước 5.2

Trừ $0$ khỏi $2 x - 20$ .

$\int_{10}^{13} 2 x - 20 d x$

Bước 5.3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{10}^{13} 2 x d x + \int_{10}^{13} - 20 d x$

Bước 5.4

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int_{10}^{13} x d x + \int_{10}^{13} - 20 d x$

Bước 5.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{10}^{13}) + \int_{10}^{13} - 20 d x$

Bước 5.6

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{10}^{13}) + \int_{10}^{13} - 20 d x$

Bước 5.7

Áp dụng quy tắc hằng số.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{10}^{13}) + - 20 x]_{10}^{13}$

Bước 5.8

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.1

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $13$ và tại $10$ .

$2 ((\frac{13^{2}}{2}) - \frac{10^{2}}{2}) + - 20 x]_{10}^{13}$

Bước 5.8.2

Tính $- 20 x$ tại $13$ và tại $10$ .

$2 (\frac{13^{2}}{2} - \frac{10^{2}}{2}) + - 20 \cdot 13 + 20 \cdot 10$

Bước 5.8.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.3.1

Nâng $13$ lên lũy thừa $2$ .

$2 (\frac{169}{2} - \frac{10^{2}}{2}) - 20 \cdot 13 + 20 \cdot 10$

Bước 5.8.3.2

Nâng $10$ lên lũy thừa $2$ .

$2 (\frac{169}{2} - \frac{100}{2}) - 20 \cdot 13 + 20 \cdot 10$

Bước 5.8.3.3

Triệt tiêu thừa số chung của $100$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.3.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $100$ .

$2 (\frac{169}{2} - \frac{2 \cdot 50}{2}) - 20 \cdot 13 + 20 \cdot 10$

Bước 5.8.3.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.3.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$2 (\frac{169}{2} - \frac{2 \cdot 50}{2 (1)}) - 20 \cdot 13 + 20 \cdot 10$

Bước 5.8.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (\frac{169}{2} - \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 1}) - 20 \cdot 13 + 20 \cdot 10$

Bước 5.8.3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$2 (\frac{169}{2} - \frac{50}{1}) - 20 \cdot 13 + 20 \cdot 10$

Bước 5.8.3.3.2.4

Chia $50$ cho $1$ .

$2 (\frac{169}{2} - 1 \cdot 50) - 20 \cdot 13 + 20 \cdot 10$

Bước 5.8.3.4

Nhân $- 1$ với $50$ .

$2 (\frac{169}{2} - 50) - 20 \cdot 13 + 20 \cdot 10$

Bước 5.8.3.5

Để viết $- 50$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{169}{2} - 50 \cdot \frac{2}{2}) - 20 \cdot 13 + 20 \cdot 10$

Bước 5.8.3.6

Kết hợp $- 50$ và $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{169}{2} + \frac{- 50 \cdot 2}{2}) - 20 \cdot 13 + 20 \cdot 10$

Bước 5.8.3.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 \frac{169 - 50 \cdot 2}{2} - 20 \cdot 13 + 20 \cdot 10$

Bước 5.8.3.8

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.3.8.1

Nhân $- 50$ với $2$ .

$2 \frac{169 - 100}{2} - 20 \cdot 13 + 20 \cdot 10$

Bước 5.8.3.8.2

Trừ $100$ khỏi $169$ .

$2 (\frac{69}{2}) - 20 \cdot 13 + 20 \cdot 10$

Bước 5.8.3.9

Kết hợp $2$ và $\frac{69}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 69}{2} - 20 \cdot 13 + 20 \cdot 10$

Bước 5.8.3.10

Nhân $2$ với $69$ .

$\frac{138}{2} - 20 \cdot 13 + 20 \cdot 10$

Bước 5.8.3.11

Triệt tiêu thừa số chung của $138$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.3.11.1

Đưa $2$ ra ngoài $138$ .

$\frac{2 \cdot 69}{2} - 20 \cdot 13 + 20 \cdot 10$

Bước 5.8.3.11.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.3.11.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot 69}{2 (1)} - 20 \cdot 13 + 20 \cdot 10$

Bước 5.8.3.11.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 69}{2 \cdot 1} - 20 \cdot 13 + 20 \cdot 10$

Bước 5.8.3.11.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{69}{1} - 20 \cdot 13 + 20 \cdot 10$

Bước 5.8.3.11.2.4

Chia $69$ cho $1$ .

$69 - 20 \cdot 13 + 20 \cdot 10$

Bước 5.8.3.12

Nhân $- 20$ với $13$ .

$69 - 260 + 20 \cdot 10$

Bước 5.8.3.13

Nhân $20$ với $10$ .

$69 - 260 + 200$

Bước 5.8.3.14

Cộng $- 260$ và $200$ .

$69 - 60$

Bước 5.8.3.15

Trừ $60$ khỏi $69$ .

$9$

Bước 6

Cộng $1$ và $9$ .

$10$

Bước 7