Giải tích Ví dụ

$y = \sin (x)$ , $[- 2, 4]$

Bước 1

Giá trị hiệu dụng (RMS) của một hàm số $f$ trong một khoảng xác định $[a, b]$ là căn bậc hai của trung bình cộng (trung bình) của bình phương của các giá trị ban đầu.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

Bước 2

Thay các giá trị thực tế vào công thức cho giá trị hiệu dụng của một hàm số.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{4 + 2} \cdot (\int_{- 2}^{4} \sin^{2} (x) d x)}$

Bước 3

Tính tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\sin^{2} (x)$ ở dạng $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$\int_{- 2}^{4} \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

Bước 3.2

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int_{- 2}^{4} 1 - \cos (2 x) d x$

Bước 3.3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{2} (\int_{- 2}^{4} d x + \int_{- 2}^{4} - \cos (2 x) d x)$

Bước 3.4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} + \int_{- 2}^{4} - \cos (2 x) d x)$

Bước 3.5

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - \int_{- 2}^{4} \cos (2 x) d x)$

Bước 3.6

Giả sử $u = 2 x$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Hãy đặt $u = 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 3.6.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.6.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 3.6.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 3.6.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot - 2$

Bước 3.6.3

Nhân $2$ với $- 2$ .

$u_{lower} = - 4$

Bước 3.6.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 4$

Bước 3.6.5

Nhân $2$ với $4$ .

$u_{upper} = 8$

Bước 3.6.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = - 4$

$u_{upper} = 8$

Bước 3.6.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - \int_{- 4}^{8} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Bước 3.7

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - \int_{- 4}^{8} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Bước 3.8

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - (\frac{1}{2} \int_{- 4}^{8} \cos (u) d u))$

Bước 3.9

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{- 4}^{8})$

Bước 3.10

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.1

Tính $x$ tại $4$ và tại $- 2$ .

$\frac{1}{2} ((4) + 2 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{- 4}^{8})$

Bước 3.10.2

Tính $\sin (u)$ tại $8$ và tại $- 4$ .

$\frac{1}{2} ((4) + 2 - \frac{1}{2} ((\sin (8)) - \sin (- 4)))$

Bước 3.10.3

Cộng $4$ và $2$ .

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} (\sin (8) - \sin (- 4)))$

Bước 3.11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.1.1.1

Tính $\sin (8)$ .

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} (0.98935824 - \sin (- 4)))$

Bước 3.11.1.1.2

Tính $\sin (- 4)$ .

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} (0.98935824 - 1 \cdot 0.75680249))$

Bước 3.11.1.1.3

Nhân $- 1$ với $0.75680249$ .

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} (0.98935824 - 0.75680249))$

Bước 3.11.1.2

Trừ $0.75680249$ khỏi $0.98935824$ .

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} \cdot 0.23255575)$

Bước 3.11.1.3

Nhân $- \frac{1}{2} \cdot 0.23255575$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.1.3.1

Nhân $0.23255575$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} (6 - 0.23255575 (\frac{1}{2}))$

Bước 3.11.1.3.2

Kết hợp $- 0.23255575$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (6 + \frac{- 0.23255575}{2})$

Bước 3.11.1.4

Chia $- 0.23255575$ cho $2$ .

$\frac{1}{2} (6 - 0.11627787)$

Bước 3.11.2

Trừ $0.11627787$ khỏi $6$ .

$\frac{1}{2} \cdot 5.88372212$

Bước 3.11.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $5.88372212$ .

$\frac{5.88372212}{2}$

Bước 3.11.4

Chia $5.88372212$ cho $2$ .

$2.94186106$

Bước 4

Rút gọn công thức giá trị hiệu dụng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp $\frac{1}{4 + 2}$ và $2.94186106$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2.94186106}{4 + 2}}$

Bước 4.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Cộng $4$ và $2$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2.94186106}{6}}$

Bước 4.2.2

Chia $2.94186106$ cho $6$ .

$f_{rms} = \sqrt{0.49031017}$

Bước 5

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$f_{rms} = \sqrt{0.49031017}$

Dạng thập phân:

$f_{rms} = 0.70022151 \dots$