Giải tích Ví dụ

$y = x^{4}$ , $[- 1, 1]$

Bước 1

Giá trị hiệu dụng (RMS) của một hàm số $f$ trong một khoảng xác định $[a, b]$ là căn bậc hai của trung bình cộng (trung bình) của bình phương của các giá trị ban đầu.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

Bước 2

Thay các giá trị thực tế vào công thức cho giá trị hiệu dụng của một hàm số.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{1 + 1} \cdot (\int_{- 1}^{1} {(x^{4})}^{2} d x)}$

Bước 3

Tính tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{4})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{- 1}^{1} x^{4 \cdot 2} d x$

Bước 3.1.2

Nhân $4$ với $2$ .

$\int_{- 1}^{1} x^{8} d x$

Bước 3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{8}$ đối với $x$ là $\frac{1}{9} x^{9}$ .

$\frac{1}{9} x^{9}]_{- 1}^{1}$

Bước 3.3

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Tính $\frac{1}{9} x^{9}$ tại $1$ và tại $- 1$ .

$(\frac{1}{9} \cdot 1^{9}) - \frac{1}{9} {(- 1)}^{9}$

Bước 3.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{9} \cdot 1 - \frac{1}{9} {(- 1)}^{9}$

Bước 3.3.2.2

Nhân $\frac{1}{9}$ với $1$ .

$\frac{1}{9} - \frac{1}{9} {(- 1)}^{9}$

Bước 3.3.2.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $9$ .

$\frac{1}{9} - \frac{1}{9} \cdot - 1$

Bước 3.3.2.4

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{1}{9} + 1 (\frac{1}{9})$

Bước 3.3.2.5

Nhân $\frac{1}{9}$ với $1$ .

$\frac{1}{9} + \frac{1}{9}$

Bước 3.3.2.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1 + 1}{9}$

Bước 3.3.2.7

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{2}{9}$

Bước 4

Rút gọn công thức giá trị hiệu dụng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $\frac{1}{1 + 1}$ với $\frac{2}{9}$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2}{(1 + 1) \cdot 9}}$

Bước 4.2

Cộng $1$ và $1$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2}{2 \cdot 9}}$

Bước 4.3

Rút gọn biểu thức $\frac{2}{2 \cdot 9}$ bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2}{2 \cdot 9}}$

Bước 4.3.2

Viết lại biểu thức.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{9}}$

Bước 4.4

Viết lại $\sqrt{\frac{1}{9}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$

Bước 4.5

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$f_{rms} = \frac{1}{\sqrt{9}}$

Bước 4.6

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$f_{rms} = \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

Bước 4.6.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$f_{rms} = \frac{1}{3}$

Bước 5