Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{\sqrt{x}} 18 t^{7} d t$

Bước 1

Lấy đạo hàm của $\int_{1}^{\sqrt{x}} 18 t^{7} d t$ đối với $x$ bằng định lý cơ bản của giải tích và quy tắc chuỗi.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Bước 3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Bước 4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Bước 6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Bước 7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Bước 8.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Bước 9

Viết lại ${\sqrt{x}}^{7}$ ở dạng $\sqrt{x^{7}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (18 \sqrt{x^{7}})$

Bước 10

Kết hợp $18$ và $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{18}{2 x^{\frac{1}{2}}} \sqrt{x^{7}}$

Bước 11

Kết hợp $\frac{18}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ và $\sqrt{x^{7}}$ .

$\frac{18 \sqrt{x^{7}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 12

Đưa $2$ ra ngoài $18 \sqrt{x^{7}}$ .

$\frac{2 (9 \sqrt{x^{7}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 13

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (9 \sqrt{x^{7}})}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Bước 13.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (9 \sqrt{x^{7}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 13.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{9 \sqrt{x^{7}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 14

Viết lại $\frac{9 \sqrt{x^{7}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ ở dạng $\frac{9 (x^{3} \sqrt{x})}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Viết lại $x^{7}$ ở dạng ${(x^{3})}^{2} x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.1

Đưa $x^{6}$ ra ngoài.

$\frac{9 \sqrt{x^{6} x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 14.1.2

Viết lại $x^{6}$ ở dạng ${(x^{3})}^{2}$ .

$\frac{9 \sqrt{{(x^{3})}^{2} x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 14.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{9 (x^{3} \sqrt{x})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 15

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 (x^{3} x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 16

Nhân $x^{3}$ với $x^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{9 x^{3 + \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 16.2

Để viết $3$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 x^{3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 16.3

Kết hợp $3$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 x^{\frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 16.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{9 x^{\frac{3 \cdot 2 + 1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 16.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.5.1

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{9 x^{\frac{6 + 1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 16.5.2

Cộng $6$ và $1$ .

$\frac{9 x^{\frac{7}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 17

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$9 x^{\frac{7}{2}} x^{- \frac{1}{2}}$

Bước 18

Nhân $x^{\frac{7}{2}}$ với $x^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$9 (x^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{7}{2}})$

Bước 18.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$9 x^{- \frac{1}{2} + \frac{7}{2}}$

Bước 18.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$9 x^{\frac{- 1 + 7}{2}}$

Bước 18.4

Cộng $- 1$ và $7$ .

$9 x^{\frac{6}{2}}$

Bước 18.5

Chia $6$ cho $2$ .

$9 x^{3}$