Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt{t}} d t$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt{t}} d t]$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Chuyển số hạng $\int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt{t}} d t$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt{t}} d t lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 2.2

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt{t}} d t \cdot 0]$

Bước 2.3

Nhân $\frac{1}{\sqrt{t}}$ với $\frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t}}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt{t}} \cdot \frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t}} d t \cdot 0]$

Bước 2.4

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{t}}$ với $\frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t}}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t} \sqrt{t}} d t \cdot 0]$

Bước 2.4.2

Nâng $\sqrt{t}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{{\sqrt{t}}^{1} \sqrt{t}} d t \cdot 0]$

Bước 2.4.3

Nâng $\sqrt{t}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{{\sqrt{t}}^{1} {\sqrt{t}}^{1}} d t \cdot 0]$

Bước 2.4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{{\sqrt{t}}^{1 + 1}} d t \cdot 0]$

Bước 2.4.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{{\sqrt{t}}^{2}} d t \cdot 0]$

Bước 2.4.6

Viết lại ${\sqrt{t}}^{2}$ ở dạng $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{t}$ ở dạng $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{{(t^{\frac{1}{2}})}^{2}} d t \cdot 0]$

Bước 2.4.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{t^{\frac{1}{2} \cdot 2}} d t \cdot 0]$

Bước 2.4.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{t^{\frac{2}{2}}} d t \cdot 0]$

Bước 2.4.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{t^{\frac{2}{2}}} d t \cdot 0]$

Bước 2.4.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{t^{1}} d t \cdot 0]$

Bước 2.4.6.5

Rút gọn.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{t} d t \cdot 0]$

Bước 2.5

Nhân $\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{t} d t$ với $0$ .

$\frac{d}{d x} [0]$