Giải tích Ví dụ

$f (x) = x^{2} e^{- x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = e^{- x}$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- x$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Bước 1.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- x$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Bước 1.1.3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.3.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Bước 1.1.3.3.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{- x}$ .

$f' (x) = x^{2} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Bước 1.1.3.3.3

Viết lại $- 1 e^{- x}$ ở dạng $- e^{- x}$ .

$f' (x) = x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Bước 1.1.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

Bước 1.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = - e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x} x$

Bước 1.1.4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x} x$ .

$f' (x) = - x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x}$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x}$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} = 0$

Bước 2.2

Đưa $x e^{- x}$ ra ngoài $- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Đưa $x e^{- x}$ ra ngoài $- x^{2} e^{- x}$ .

$x e^{- x} (- x) + 2 x e^{- x} = 0$

Bước 2.2.2

Đưa $x e^{- x}$ ra ngoài $2 x e^{- x}$ .

$x e^{- x} (- x) + x e^{- x} (2) = 0$

Bước 2.2.3

Đưa $x e^{- x}$ ra ngoài $x e^{- x} (- x) + x e^{- x} (2)$ .

$x e^{- x} (- x + 2) = 0$

Bước 2.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

$e^{- x} = 0$

$- x + 2 = 0$

Bước 2.4

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Bước 2.5

Đặt $e^{- x}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Đặt $e^{- x}$ bằng với $0$ .

$e^{- x} = 0$

Bước 2.5.2

Giải $e^{- x} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Bước 2.5.2.2

Không thể giải phương trình vì $\ln (0)$ không xác định.

Không xác định

Bước 2.5.2.3

Không có đáp án nào cho $e^{- x} = 0$

Không có đáp án

Bước 2.6

Đặt $- x + 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Đặt $- x + 2$ bằng với $0$ .

$- x + 2 = 0$

Bước 2.6.2

Giải $- x + 2 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.1

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- x = - 2$

Bước 2.6.2.2

Chia mỗi số hạng trong $- x = - 2$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- x = - 2$ cho $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Bước 2.6.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Bước 2.6.2.2.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Bước 2.6.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.2.3.1

Chia $- 2$ cho $- 1$ .

$x = 2$

Bước 2.7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $x e^{- x} (- x + 2) = 0$ đúng.

$x = 0, 2$

Bước 3

Các giá trị làm cho đạo hàm bằng $0$ là $0, 2$ .

$0, 2$

Bước 4

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Bước 5

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, 0)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 1$ trong biểu thức.

$f' (- 1) = - {(- 1)}^{2} e^{- (- 1)} + 2 (- 1) \cdot e^{- (- 1)}$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Nhân $- 1$ với ${(- 1)}^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.1

Nhân $- 1$ với ${(- 1)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $1$ .

$f' (- 1) = (- 1) {(- 1)}^{2} e^{- (- 1)} + 2 (- 1) \cdot e^{- (- 1)}$

Bước 5.2.1.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f' (- 1) = {(- 1)}^{1 + 2} e^{- (- 1)} + 2 (- 1) \cdot e^{- (- 1)}$

Bước 5.2.1.1.2

Cộng $1$ và $2$ .

$f' (- 1) = {(- 1)}^{3} e^{- (- 1)} + 2 (- 1) \cdot e^{- (- 1)}$

Bước 5.2.1.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (- 1) = - 1 e^{- (- 1)} + 2 (- 1) \cdot e^{- (- 1)}$

Bước 5.2.1.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f' (- 1) = - 1 e + 2 (- 1) \cdot e^{- (- 1)}$

Bước 5.2.1.4

Rút gọn.

$f' (- 1) = - 1 e + 2 (- 1) \cdot e^{- (- 1)}$

Bước 5.2.1.5

Viết lại $- 1 e$ ở dạng $- e$ .

$f' (- 1) = - e + 2 (- 1) \cdot e^{- (- 1)}$

Bước 5.2.1.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f' (- 1) = - e - 2 \cdot e^{- (- 1)}$

Bước 5.2.1.7

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f' (- 1) = - e - 2 e$

Bước 5.2.2

Trừ $2 e$ khỏi $- e$ .

$f' (- 1) = - 3 e$

Bước 5.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 3 e$ .

$- 3 e$

Bước 5.3

Tại $x = - 1$ đạo hàm là $- 3 e$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(- \infty, 0)$ .

Giảm trên $(- \infty, 0)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(0, 2)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f' (1) = - {(1)}^{2} e^{- (1)} + 2 (1) \cdot e^{- (1)}$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f' (1) = - 1 \cdot (1 e^{- (1)}) + 2 (1) \cdot e^{- (1)}$

Bước 6.2.1.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f' (1) = - 1 e^{- (1)} + 2 (1) \cdot e^{- (1)}$

Bước 6.2.1.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f' (1) = - 1 e^{- 1} + 2 (1) \cdot e^{- (1)}$

Bước 6.2.1.4

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1) = - 1 \frac{1}{e} + 2 (1) \cdot e^{- (1)}$

Bước 6.2.1.5

Viết lại $- 1 \frac{1}{e}$ ở dạng $- \frac{1}{e}$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + 2 (1) \cdot e^{- (1)}$

Bước 6.2.1.6

Nhân $2$ với $1$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + 2 \cdot e^{- (1)}$

Bước 6.2.1.7

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + 2 \cdot e^{- 1}$

Bước 6.2.1.8

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + 2 \cdot \frac{1}{e}$

Bước 6.2.1.9

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{e}$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + \frac{2}{e}$

Bước 6.2.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (1) = \frac{- 1 + 2}{e}$

Bước 6.2.2.2

Cộng $- 1$ và $2$ .

$f' (1) = \frac{1}{e}$

Bước 6.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{1}{e}$ .

$\frac{1}{e}$

Bước 6.3

Tại $x = 1$ đạo hàm là $\frac{1}{e}$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(0, 2)$ .

Tăng trên $(0, 2)$ vì $f' (x) > 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(2, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $3$ trong biểu thức.

$f' (3) = - {(3)}^{2} e^{- (3)} + 2 (3) \cdot e^{- (3)}$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (3) = - 1 \cdot (9 e^{- (3)}) + 2 (3) \cdot e^{- (3)}$

Bước 7.2.1.2

Nhân $- 1$ với $9$ .

$f' (3) = - 9 e^{- (3)} + 2 (3) \cdot e^{- (3)}$

Bước 7.2.1.3

Nhân $- 1$ với $3$ .

$f' (3) = - 9 e^{- 3} + 2 (3) \cdot e^{- (3)}$

Bước 7.2.1.4

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (3) = - 9 \frac{1}{e^{3}} + 2 (3) \cdot e^{- (3)}$

Bước 7.2.1.5

Kết hợp $- 9$ và $\frac{1}{e^{3}}$ .

$f' (3) = \frac{- 9}{e^{3}} + 2 (3) \cdot e^{- (3)}$

Bước 7.2.1.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (3) = - \frac{9}{e^{3}} + 2 (3) \cdot e^{- (3)}$

Bước 7.2.1.7

Nhân $2$ với $3$ .

$f' (3) = - \frac{9}{e^{3}} + 6 \cdot e^{- (3)}$

Bước 7.2.1.8

Nhân $- 1$ với $3$ .

$f' (3) = - \frac{9}{e^{3}} + 6 \cdot e^{- 3}$

Bước 7.2.1.9

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (3) = - \frac{9}{e^{3}} + 6 \cdot \frac{1}{e^{3}}$

Bước 7.2.1.10

Kết hợp $6$ và $\frac{1}{e^{3}}$ .

$f' (3) = - \frac{9}{e^{3}} + \frac{6}{e^{3}}$

Bước 7.2.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (3) = \frac{- 9 + 6}{e^{3}}$

Bước 7.2.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.2.1

Cộng $- 9$ và $6$ .

$f' (3) = \frac{- 3}{e^{3}}$

Bước 7.2.2.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (3) = - \frac{3}{e^{3}}$

Bước 7.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{3}{e^{3}}$ .

$- \frac{3}{e^{3}}$

Bước 7.3

Tại $x = 3$ đạo hàm là $- \frac{3}{e^{3}}$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(2, \infty)$ .

Giảm trên $(2, \infty)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 8

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Tăng trên: $(0, 2)$

Giảm trên: $(- \infty, 0), (2, \infty)$

Bước 9