Giải tích Ví dụ

$\sqrt{5 x} \cdot \sqrt{x + 3}$

Bước 1

Viết $\sqrt{5 x} \cdot \sqrt{x + 3}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \sqrt{5 x} \cdot \sqrt{x + 3}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \sqrt{5 x} \cdot \sqrt{x + 3} d x$

Bước 4

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\int \sqrt{5 x (x + 3)} d x$

Bước 5

Hoàn thành bình phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$5 x \cdot x + 5 x \cdot 3$

Bước 5.1.2

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Di chuyển $x$ .

$5 (x \cdot x) + 5 x \cdot 3$

Bước 5.1.2.2

Nhân $x$ với $x$ .

$5 x^{2} + 5 x \cdot 3$

Bước 5.1.3

Nhân $3$ với $5$ .

$5 x^{2} + 15 x$

Bước 5.2

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 5$

$b = 15$

$c = 0$

Bước 5.3

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 5.4

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{15}{2 \cdot 5}$

Bước 5.4.2

Triệt tiêu thừa số chung của $15$ và $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $15$ .

$d = \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 5}$

Bước 5.4.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $2 \cdot 5$ .

$d = \frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 2}$

Bước 5.4.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 2}$

Bước 5.4.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{3}{2}$

Bước 5.5

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{15^{2}}{4 \cdot 5}$

Bước 5.5.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1.1

Nâng $15$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{225}{4 \cdot 5}$

Bước 5.5.2.1.2

Nhân $4$ với $5$ .

$e = 0 - \frac{225}{20}$

Bước 5.5.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung của $225$ và $20$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1.3.1

Đưa $5$ ra ngoài $225$ .

$e = 0 - \frac{5 (45)}{20}$

Bước 5.5.2.1.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1.3.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $20$ .

$e = 0 - \frac{5 \cdot 45}{5 \cdot 4}$

Bước 5.5.2.1.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e = 0 - \frac{5 \cdot 45}{5 \cdot 4}$

Bước 5.5.2.1.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$e = 0 - \frac{45}{4}$

Bước 5.5.2.2

Trừ $\frac{45}{4}$ khỏi $0$ .

$e = - \frac{45}{4}$

Bước 5.6

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $5 {(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{45}{4}$ .

$\int \sqrt{5 {(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{45}{4}} d x$

Bước 6

Giả sử $u = x + \frac{3}{2}$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Hãy đặt $u = x + \frac{3}{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính đạo hàm $x + \frac{3}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x + \frac{3}{2}]$

Bước 6.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + \frac{3}{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2}]$

Bước 6.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2}]$

Bước 6.1.4

Vì $\frac{3}{2}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $\frac{3}{2}$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 6.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 6.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \sqrt{5 u^{2} - \frac{45}{4}} d u$

Bước 7

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Đưa $5$ ra ngoài $5 u^{2} - \frac{45}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Đưa $5$ ra ngoài $5 u^{2}$ .

$\int \sqrt{5 (u^{2}) - \frac{45}{4}} d u$

Bước 7.1.2

Đưa $5$ ra ngoài $- \frac{45}{4}$ .

$\int \sqrt{5 (u^{2}) + 5 (- \frac{9}{4})} d u$

Bước 7.1.3

Đưa $5$ ra ngoài $5 (u^{2}) + 5 (- \frac{9}{4})$ .

$\int \sqrt{5 (u^{2} - \frac{9}{4})} d u$

Bước 7.2

Viết lại $\frac{9}{4}$ ở dạng ${(\frac{3}{2})}^{2}$ .

$\int \sqrt{5 (u^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2})} d u$

Bước 8

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = u$ và $b = \frac{3}{2}$ .

$\int \sqrt{5 (u + \frac{3}{2}) (u - \frac{3}{2})} d u$

Bước 9

Để viết $u$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\int \sqrt{5 (u \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}) (u - \frac{3}{2})} d u$

Bước 10

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Kết hợp $u$ và $\frac{2}{2}$ .

$\int \sqrt{5 (\frac{u \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}) (u - \frac{3}{2})} d u$

Bước 10.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int \sqrt{5 \frac{u \cdot 2 + 3}{2} (u - \frac{3}{2})} d u$

Bước 11

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u$ .

$\int \sqrt{5 \frac{2 u + 3}{2} (u - \frac{3}{2})} d u$

Bước 12

Để viết $u$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\int \sqrt{5 \frac{2 u + 3}{2} (u \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2})} d u$

Bước 13

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Kết hợp $u$ và $\frac{2}{2}$ .

$\int \sqrt{5 \frac{2 u + 3}{2} (\frac{u \cdot 2}{2} - \frac{3}{2})} d u$

Bước 13.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int \sqrt{5 \frac{2 u + 3}{2} \frac{u \cdot 2 - 3}{2}} d u$

Bước 14

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u$ .

$\int \sqrt{5 \frac{2 u + 3}{2} \frac{2 u - 3}{2}} d u$

Bước 15

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Kết hợp $5$ và $\frac{2 u + 3}{2}$ .

$\int \sqrt{\frac{5 (2 u + 3)}{2} \cdot \frac{2 u - 3}{2}} d u$

Bước 15.2

Nhân $\frac{5 (2 u + 3)}{2}$ với $\frac{2 u - 3}{2}$ .

$\int \sqrt{\frac{5 (2 u + 3) (2 u - 3)}{2 \cdot 2}} d u$

Bước 15.3

Nhân $2$ với $2$ .

$\int \sqrt{\frac{5 (2 u + 3) (2 u - 3)}{4}} d u$

Bước 16

Viết lại $\frac{5 (2 u + 3) (2 u - 3)}{4}$ ở dạng ${(\frac{1}{2})}^{2} (5 (2 u + 3) (2 u - 3))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Đưa lũy thừa hoàn hảo $1^{2}$ ra ngoài $5 (2 u + 3) (2 u - 3)$ .

$\int \sqrt{\frac{1^{2} (5 (2 u + 3) (2 u - 3))}{4}} d u$

Bước 16.2

Đưa lũy thừa hoàn hảo $2^{2}$ ra ngoài $4$ .

$\int \sqrt{\frac{1^{2} (5 (2 u + 3) (2 u - 3))}{2^{2} \cdot 1}} d u$

Bước 16.3

Sắp xếp lại phân số $\frac{1^{2} (5 (2 u + 3) (2 u - 3))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$\int \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (5 (2 u + 3) (2 u - 3))} d u$

Bước 17

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\int \frac{1}{2} \sqrt{5 (2 u + 3) (2 u - 3)} d u$

Bước 17.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sqrt{5 (2 u + 3) (2 u - 3)}$ .

$\int \frac{\sqrt{5 (2 u + 3) (2 u - 3)}}{2} d u$

Bước 17.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \frac{\sqrt{(5 (2 u) + 5 \cdot 3) (2 u - 3)}}{2} d u$

Bước 17.4

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.4.1

Nhân $2$ với $5$ .

$\int \frac{\sqrt{(10 u + 5 \cdot 3) (2 u - 3)}}{2} d u$

Bước 17.4.2

Nhân $5$ với $3$ .

$\int \frac{\sqrt{(10 u + 15) (2 u - 3)}}{2} d u$

Bước 18

Khai triển $(10 u + 15) (2 u - 3)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \frac{\sqrt{10 u (2 u - 3) + 15 (2 u - 3)}}{2} d u$

Bước 18.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \frac{\sqrt{10 u (2 u) + 10 u \cdot - 3 + 15 (2 u - 3)}}{2} d u$

Bước 18.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \frac{\sqrt{10 u (2 u) + 10 u \cdot - 3 + 15 (2 u) + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

Bước 19

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\int \frac{\sqrt{10 \cdot 2 u \cdot u + 10 u \cdot - 3 + 15 (2 u) + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

Bước 19.1.2

Nhân $u$ với $u$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1.2.1

Di chuyển $u$ .

$\int \frac{\sqrt{10 \cdot 2 (u \cdot u) + 10 u \cdot - 3 + 15 (2 u) + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

Bước 19.1.2.2

Nhân $u$ với $u$ .

$\int \frac{\sqrt{10 \cdot 2 u^{2} + 10 u \cdot - 3 + 15 (2 u) + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

Bước 19.1.3

Nhân $10$ với $2$ .

$\int \frac{\sqrt{20 u^{2} + 10 u \cdot - 3 + 15 (2 u) + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

Bước 19.1.4

Nhân $- 3$ với $10$ .

$\int \frac{\sqrt{20 u^{2} - 30 u + 15 (2 u) + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

Bước 19.1.5

Nhân $2$ với $15$ .

$\int \frac{\sqrt{20 u^{2} - 30 u + 30 u + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

Bước 19.1.6

Nhân $15$ với $- 3$ .

$\int \frac{\sqrt{20 u^{2} - 30 u + 30 u - 45}}{2} d u$

Bước 19.2

Cộng $- 30 u$ và $30 u$ .

$\int \frac{\sqrt{20 u^{2} + 0 - 45}}{2} d u$

Bước 19.3

Cộng $20 u^{2}$ và $0$ .

$\int \frac{\sqrt{20 u^{2} - 45}}{2} d u$

Bước 20

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 u^{2} - 45} d u$

Bước 21

Giả sử $u = \frac{3}{2} \sec (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d u = \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $\frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2}$ dương.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{{(2 \sqrt{5})}^{2} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 22

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1

Rút gọn $\sqrt{{(2 \sqrt{5})}^{2} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{2^{2} {\sqrt{5}}^{2} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 22.1.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 {\sqrt{5}}^{2} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 22.1.1.3

Viết lại ${\sqrt{5}}^{2}$ ở dạng $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1.1.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{5}$ ở dạng $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 22.1.1.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 22.1.1.3.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 22.1.1.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1.1.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 22.1.1.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 \cdot 5^{1} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 22.1.1.3.5

Tính số mũ.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 \cdot 5 {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 22.1.1.4

Nhân $4$ với $5$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 22.1.1.5

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $\sec (t)$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 {(\frac{3 \sec (t)}{2})}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 22.1.1.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1.1.6.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{3 \sec (t)}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 \frac{{(3 \sec (t))}^{2}}{2^{2}} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 22.1.1.6.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 \sec (t)$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 \frac{3^{2} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 22.1.1.7

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 \frac{9 \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 22.1.1.8

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 \frac{9 \sec^{2} (t)}{4} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 22.1.1.9

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1.1.9.1

Đưa $4$ ra ngoài $20$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 (5) \frac{9 \sec^{2} (t)}{4} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 22.1.1.9.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 \cdot 5 \frac{9 \sec^{2} (t)}{4} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 22.1.1.9.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{5 (9 \sec^{2} (t)) - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 22.1.1.10

Nhân $9$ với $5$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{45 \sec^{2} (t) - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 22.1.2

Đưa $45$ ra ngoài $45 \sec^{2} (t)$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{45 (\sec^{2} (t)) - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 22.1.3

Đưa $45$ ra ngoài $- 45$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{45 \sec^{2} (t) + 45 \cdot - 1} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 22.1.4

Đưa $45$ ra ngoài $45 \sec^{2} (t) + 45 \cdot - 1$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{45 (\sec^{2} (t) - 1)} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 22.1.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{45 \tan^{2} (t)} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 22.1.6

Viết lại $45 \tan^{2} (t)$ ở dạng ${(3 \tan (t))}^{2} \cdot 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1.6.1

Đưa $9$ ra ngoài $45$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{9 (5) \tan^{2} (t)} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 22.1.6.2

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{3^{2} \cdot 5 \tan^{2} (t)} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 22.1.6.3

Di chuyển $5$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{3^{2} \tan^{2} (t) \cdot 5} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 22.1.6.4

Viết lại $3^{2} \tan^{2} (t)$ ở dạng ${(3 \tan (t))}^{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{{(3 \tan (t))}^{2} \cdot 5} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 22.1.7

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{1}{2} \int 3 \tan (t) \sqrt{5} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 22.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.2.1

Kết hợp $\frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2}$ và $3$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{3 \sec (t) \tan (t) \cdot 3}{2} \tan (t) \sqrt{5} d t$

Bước 22.2.2

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) \tan (t)}{2} \tan (t) \sqrt{5} d t$

Bước 22.2.3

Kết hợp $\frac{9 \sec (t) \tan (t)}{2}$ và $\tan (t)$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) \tan (t) \tan (t)}{2} \sqrt{5} d t$

Bước 22.2.4

Nâng $\tan (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) (\tan^{1} (t) \tan (t))}{2} \sqrt{5} d t$

Bước 22.2.5

Nâng $\tan (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t))}{2} \sqrt{5} d t$

Bước 22.2.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) {\tan (t)}^{1 + 1}}{2} \sqrt{5} d t$

Bước 22.2.7

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) \tan^{2} (t)}{2} \sqrt{5} d t$

Bước 22.2.8

Kết hợp $\frac{9 \sec (t) \tan^{2} (t)}{2}$ và $\sqrt{5}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) \tan^{2} (t) \sqrt{5}}{2} d t$

Bước 23

Vì $\frac{9 \sqrt{5}}{2}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{9 \sqrt{5}}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (\frac{9 \sqrt{5}}{2} \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

Bước 24

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.1

Nhân $\frac{9 \sqrt{5}}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{2 \cdot 2} \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t$

Bước 24.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t$

Bước 25

Nâng $\sec (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \int \sec^{1} (t) \tan^{2} (t) d t$

Bước 26

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\tan^{2} (t)$ ở dạng $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \int \sec^{1} (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t$

Bước 27

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 27.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \int \sec^{1} (t) \cdot - 1 + \sec^{1} (t) \sec^{2} (t) d t$

Bước 27.2

Rút gọn mỗi số hạng.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \int - \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

Bước 28

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (\int - \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Bước 29

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Bước 30

Tích phân của $\sec (t)$ đối với $t$ là $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t)$

Bước 31

Đưa $\sec (t)$ ra ngoài $\sec^{3} (t)$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t)$

Bước 32

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \sec (t)$ và $d v = \sec^{2} (t)$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

Bước 33

Nâng $\tan (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

Bước 34

Nâng $\tan (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

Bước 35

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Bước 36

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 36.1

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

Bước 36.2

Sắp xếp lại $\tan^{2} (t)$ và $\sec (t)$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

Bước 37

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\tan^{2} (t)$ ở dạng $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

Bước 38

Rút gọn bằng cách nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 38.1

Viết lại lũy thừa ở dạng một tích.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

Bước 38.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Bước 38.3

Sắp xếp lại $\sec (t)$ và $- 1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Bước 39

Nâng $\sec (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

Bước 40

Nâng $\sec (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

Bước 41

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Bước 42

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

Bước 43

Nâng $\sec (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

Bước 44

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

Bước 45

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

Bước 46

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Bước 47

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Bước 48

Tích phân của $\sec (t)$ đối với $t$ là $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

Bước 49

Rút gọn bằng cách nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 49.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Bước 49.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Bước 50

Khi giải tìm $\int \sec^{3} (t) d t$ , chúng ta thấy rằng $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

Bước 51

Nhân $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ với $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

Bước 52

Rút gọn.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \cdot \frac{- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) \cdot 2 + \sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

Bước 53

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 53.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \cdot \frac{- 2 \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + \sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

Bước 53.2

Cộng $- 2 \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ và $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

Bước 53.3

Nhân $\frac{9 \sqrt{5}}{4}$ với $\frac{\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2}$ .

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{4 \cdot 2} + C$

Bước 53.4

Nhân $4$ với $2$ .

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{8} + C$

Bước 54

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 54.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $arcsec (\frac{2 u}{3})$ .

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 u}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 u}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 u}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 u}{3})) |))}{8} + C$

Bước 54.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + \frac{3}{2}$ .

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

Bước 55

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 55.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 2 (\frac{3}{2})}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

Bước 55.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 55.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

Bước 55.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

Bước 55.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 2 (\frac{3}{2})}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

Bước 55.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 55.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

Bước 55.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

Bước 55.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 x + 2 (\frac{3}{2})}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

Bước 55.6

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 55.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

Bước 55.6.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

Bước 55.7

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 x + 2 (\frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

Bước 55.8

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 55.8.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 x + 2 (\frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

Bước 55.8.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) |))}{8} + C$

Bước 56

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{9 \sqrt{5}}{8} (\sec (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) \tan (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) + \tan (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) |)) + C$

Bước 57

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sqrt{5 x} \cdot \sqrt{x + 3}$ .

$F (x) =$ $\frac{9 \sqrt{5}}{8} (\sec (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) \tan (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) + \tan (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) |)) + C$