Giải tích Ví dụ

$\frac{1}{27} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}$

Bước 1

Viết $\frac{1}{27} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{1}{27} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{1}{27} \cdot {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 4

Vì $\frac{1}{27}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{27}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{27} \int {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 5

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 x^{2} + 6)}^{3}} d x$

Bước 6

Giả sử $x = \frac{\sqrt{6}}{3} \tan (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $\frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3}$ dương.

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 {(\frac{\sqrt{6}}{3} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Bước 7

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn $\sqrt{{(9 {(\frac{\sqrt{6}}{3} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.1

Kết hợp $\frac{\sqrt{6}}{3}$ và $\tan (t)$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 {(\frac{\sqrt{6} \tan (t)}{3})}^{2} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Bước 7.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{6} \tan (t)}{3}$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 \frac{{(\sqrt{6} \tan (t))}^{2}}{3^{2}} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Bước 7.1.1.2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\sqrt{6} \tan (t)$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 \frac{{\sqrt{6}}^{2} \tan^{2} (t)}{3^{2}} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Bước 7.1.1.3

Viết lại ${\sqrt{6}}^{2}$ ở dạng $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{6}$ ở dạng $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan^{2} (t)}{3^{2}} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Bước 7.1.1.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan^{2} (t)}{3^{2}} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Bước 7.1.1.3.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 \frac{6^{\frac{2}{2}} \tan^{2} (t)}{3^{2}} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Bước 7.1.1.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 \frac{6^{\frac{2}{2}} \tan^{2} (t)}{3^{2}} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Bước 7.1.1.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 \frac{6^{1} \tan^{2} (t)}{3^{2}} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Bước 7.1.1.3.5

Tính số mũ.

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 \frac{6 \tan^{2} (t)}{3^{2}} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Bước 7.1.1.4

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 \frac{6 \tan^{2} (t)}{9} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Bước 7.1.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 \frac{6 \tan^{2} (t)}{9} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Bước 7.1.1.5.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Bước 7.1.1.6

Viết lại ${\sqrt{6}}^{2}$ ở dạng $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{6}$ ở dạng $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 \tan^{2} (t) + {(6^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Bước 7.1.1.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 \tan^{2} (t) + 6^{\frac{1}{2} \cdot 2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Bước 7.1.1.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 \tan^{2} (t) + 6^{\frac{2}{2}})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Bước 7.1.1.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 \tan^{2} (t) + 6^{\frac{2}{2}})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Bước 7.1.1.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 \tan^{2} (t) + 6^{1})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Bước 7.1.1.6.5

Tính số mũ.

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 \tan^{2} (t) + 6)}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Bước 7.1.2

Đưa $6$ ra ngoài $6 \tan^{2} (t) + 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.2.1

Đưa $6$ ra ngoài $6 \tan^{2} (t)$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 (\tan^{2} (t)) + 6)}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Bước 7.1.2.2

Đưa $6$ ra ngoài $6$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 (\tan^{2} (t)) + 6 (1))}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Bước 7.1.2.3

Đưa $6$ ra ngoài $6 (\tan^{2} (t)) + 6 (1)$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 (\tan^{2} (t) + 1))}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Bước 7.1.3

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 \sec^{2} (t))}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Bước 7.1.4

Áp dụng quy tắc tích số cho $6 \sec^{2} (t)$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{6^{3} {(\sec^{2} (t))}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Bước 7.1.5

Nâng $6$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{216 {(\sec^{2} (t))}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Bước 7.1.6

Nhân các số mũ trong ${(\sec^{2} (t))}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.6.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{216 {\sec (t)}^{2 \cdot 3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Bước 7.1.6.2

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{216 \sec^{6} (t)} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Bước 7.1.7

Viết lại $216 \sec^{6} (t)$ ở dạng ${(6 \sec^{3} (t))}^{2} \cdot 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.7.1

Đưa $36$ ra ngoài $216$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{36 (6) \sec^{6} (t)} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Bước 7.1.7.2

Viết lại $36$ ở dạng $6^{2}$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{6^{2} \cdot 6 \sec^{6} (t)} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Bước 7.1.7.3

Viết lại $\sec^{6} (t)$ ở dạng ${(\sec^{3} (t))}^{2}$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{6^{2} \cdot 6 {(\sec^{3} (t))}^{2}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Bước 7.1.7.4

Di chuyển $6$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{6^{2} {(\sec^{3} (t))}^{2} \cdot 6} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Bước 7.1.7.5

Viết lại $6^{2} {(\sec^{3} (t))}^{2}$ ở dạng ${(6 \sec^{3} (t))}^{2}$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 \sec^{3} (t))}^{2} \cdot 6} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Bước 7.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{1}{27} \int 6 \sec^{3} (t) \sqrt{6} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Bước 7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Kết hợp $\frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3}$ và $6$ .

$\frac{1}{27} \int \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t) \cdot 6}{3} \sec^{3} (t) \sqrt{6} d t$

Bước 7.2.2

Kết hợp $\frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t) \cdot 6}{3}$ và $\sec^{3} (t)$ .

$\frac{1}{27} \int \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t) \cdot 6 \sec^{3} (t)}{3} \sqrt{6} d t$

Bước 7.2.3

Nhân $\sec^{2} (t)$ với $\sec^{3} (t)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Di chuyển $\sec^{3} (t)$ .

$\frac{1}{27} \int \frac{\sqrt{6} (\sec^{3} (t) \sec^{2} (t)) \cdot 6}{3} \sqrt{6} d t$

Bước 7.2.3.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{27} \int \frac{\sqrt{6} {\sec (t)}^{3 + 2} \cdot 6}{3} \sqrt{6} d t$

Bước 7.2.3.3

Cộng $3$ và $2$ .

$\frac{1}{27} \int \frac{\sqrt{6} \sec^{5} (t) \cdot 6}{3} \sqrt{6} d t$

Bước 7.2.4

Kết hợp $\frac{\sqrt{6} \sec^{5} (t) \cdot 6}{3}$ và $\sqrt{6}$ .

$\frac{1}{27} \int \frac{\sqrt{6} \sec^{5} (t) \cdot 6 \sqrt{6}}{3} d t$

Bước 7.2.5

Nâng $\sqrt{6}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{27} \int \frac{\sec^{5} (t) \cdot 6 ({\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6})}{3} d t$

Bước 7.2.6

Nâng $\sqrt{6}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{27} \int \frac{\sec^{5} (t) \cdot 6 ({\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1})}{3} d t$

Bước 7.2.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{27} \int \frac{\sec^{5} (t) \cdot 6 {\sqrt{6}}^{1 + 1}}{3} d t$

Bước 7.2.8

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{1}{27} \int \frac{\sec^{5} (t) \cdot 6 {\sqrt{6}}^{2}}{3} d t$

Bước 7.2.9

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $\sec^{5} (t)$ .

$\frac{1}{27} \int \frac{6 \cdot \sec^{5} (t) {\sqrt{6}}^{2}}{3} d t$

Bước 7.2.10

Viết lại ${\sqrt{6}}^{2}$ ở dạng $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.10.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{6}$ ở dạng $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{27} \int \frac{6 \sec^{5} (t) {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3} d t$

Bước 7.2.10.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{27} \int \frac{6 \sec^{5} (t) \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3} d t$

Bước 7.2.10.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{1}{27} \int \frac{6 \sec^{5} (t) \cdot 6^{\frac{2}{2}}}{3} d t$

Bước 7.2.10.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.10.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{27} \int \frac{6 \sec^{5} (t) \cdot 6^{\frac{2}{2}}}{3} d t$

Bước 7.2.10.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{27} \int \frac{6 \sec^{5} (t) \cdot 6^{1}}{3} d t$

Bước 7.2.10.5

Tính số mũ.

$\frac{1}{27} \int \frac{6 \sec^{5} (t) \cdot 6}{3} d t$

Bước 7.2.11

Nhân $6$ với $6$ .

$\frac{1}{27} \int \frac{36 \sec^{5} (t)}{3} d t$

Bước 7.2.12

Triệt tiêu thừa số chung của $36$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.12.1

Đưa $3$ ra ngoài $36 \sec^{5} (t)$ .

$\frac{1}{27} \int \frac{3 (12 \sec^{5} (t))}{3} d t$

Bước 7.2.12.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.12.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{1}{27} \int \frac{3 (12 \sec^{5} (t))}{3 (1)} d t$

Bước 7.2.12.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{27} \int \frac{3 (12 \sec^{5} (t))}{3 \cdot 1} d t$

Bước 7.2.12.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{27} \int \frac{12 \sec^{5} (t)}{1} d t$

Bước 7.2.12.2.4

Chia $12 \sec^{5} (t)$ cho $1$ .

$\frac{1}{27} \int 12 \sec^{5} (t) d t$

Bước 8

Vì $12$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $12$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{27} (12 \int \sec^{5} (t) d t)$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Kết hợp $12$ và $\frac{1}{27}$ .

$\frac{12}{27} \int \sec^{5} (t) d t$

Bước 9.2

Triệt tiêu thừa số chung của $12$ và $27$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $12$ .

$\frac{3 (4)}{27} \int \sec^{5} (t) d t$

Bước 9.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $27$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 9} \int \sec^{5} (t) d t$

Bước 9.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 9} \int \sec^{5} (t) d t$

Bước 9.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{4}{9} \int \sec^{5} (t) d t$

Bước 10

Áp dụng công thức rút gọn.

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} \int \sec^{3} (t) d t)$

Bước 11

Đưa $\sec (t)$ ra ngoài $\sec^{3} (t)$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t)$

Bước 12

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \sec (t)$ và $d v = \sec^{2} (t)$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t))$

Bước 13

Nâng $\tan (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t))$

Bước 14

Nâng $\tan (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t))$

Bước 15

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t))$

Bước 16

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t))$

Bước 16.2

Sắp xếp lại $\tan^{2} (t)$ và $\sec (t)$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t))$

Bước 17

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\tan^{2} (t)$ ở dạng $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t))$

Bước 18

Rút gọn bằng cách nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Viết lại lũy thừa ở dạng một tích.

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t))$

Bước 18.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t))$

Bước 18.3

Sắp xếp lại $\sec (t)$ và $- 1$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t))$

Bước 19

Nâng $\sec (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t))$

Bước 20

Nâng $\sec (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t))$

Bước 21

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t))$

Bước 22

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t))$

Bước 23

Nâng $\sec (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t))$

Bước 24

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t))$

Bước 25

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t))$

Bước 26

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)))$

Bước 27

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)))$

Bước 28

Tích phân của $\sec (t)$ đối với $t$ là $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t)))$

Bước 29

Rút gọn bằng cách nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 29.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t))$

Bước 29.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t))$

Bước 30

Khi giải tìm $\int \sec^{3} (t) d t$ , chúng ta thấy rằng $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C))$

Bước 31

Nhân $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ với $1$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C))$

Bước 32

Rút gọn.

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{8}) + C$

Bước 33

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 33.1

Để viết $\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{8}) + C$

Bước 33.2

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $8$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 33.2.1

Nhân $\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{8}) + C$

Bước 33.2.2

Nhân $4$ với $2$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t) \cdot 2}{8} + \frac{3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{8}) + C$

Bước 33.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{4}{9} \cdot \frac{\tan (t) \sec^{3} (t) \cdot 2 + 3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{8} + C$

Bước 33.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\tan (t) \sec^{3} (t)$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{2 \cdot (\tan (t) \sec^{3} (t)) + 3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{8} + C$

Bước 33.5

Nhân $\frac{4}{9}$ với $\frac{2 \tan (t) \sec^{3} (t) + 3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{8}$ .

$\frac{4 (2 \tan (t) \sec^{3} (t) + 3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)))}{9 \cdot 8} + C$

Bước 33.6

Nhân $9$ với $8$ .

$\frac{4 (2 \tan (t) \sec^{3} (t) + 3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)))}{72} + C$

Bước 33.7

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 33.7.1

Đưa $4$ ra ngoài $72$ .

$\frac{4 (2 \tan (t) \sec^{3} (t) + 3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)))}{4 \cdot 18} + C$

Bước 33.7.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 (2 \tan (t) \sec^{3} (t) + 3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)))}{4 \cdot 18} + C$

Bước 33.7.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 \tan (t) \sec^{3} (t) + 3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{18} + C$

Bước 34

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arctan (\frac{3 x}{\sqrt{6}})$ .

$\frac{2 \tan (\arctan (\frac{3 x}{\sqrt{6}})) \sec^{3} (\arctan (\frac{3 x}{\sqrt{6}})) + 3 (\sec (\arctan (\frac{3 x}{\sqrt{6}})) \tan (\arctan (\frac{3 x}{\sqrt{6}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{3 x}{\sqrt{6}})) + \tan (\arctan (\frac{3 x}{\sqrt{6}})) |))}{18} + C$

Bước 35

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{18} (2 \tan (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) \sec^{3} (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) + 3 (\sec (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) \tan (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) + \tan (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) |))) + C$

Bước 36

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{27} \cdot {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{18} (2 \tan (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) \sec^{3} (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) + 3 (\sec (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) \tan (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) + \tan (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) |))) + C$