Giải tích Ví dụ

$\frac{(6 x - 9)}{{(x^{2} - 3 x + 5)}^{3}}$

Bước 1

Viết $\frac{(6 x - 9)}{{(x^{2} - 3 x + 5)}^{3}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{(6 x - 9)}{{(x^{2} - 3 x + 5)}^{3}}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{6 x - 9}{{(x^{2} - 3 x + 5)}^{3}} d x$

Bước 4

Đưa $3$ ra ngoài $6 x - 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đưa $3$ ra ngoài $6 x$ .

$\int \frac{3 (2 x) - 9}{{(x^{2} - 3 x + 5)}^{3}} d x$

Bước 4.2

Đưa $3$ ra ngoài $- 9$ .

$\int \frac{3 (2 x) + 3 (- 3)}{{(x^{2} - 3 x + 5)}^{3}} d x$

Bước 4.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 (2 x) + 3 (- 3)$ .

$\int \frac{3 (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x + 5)}^{3}} d x$

Bước 5

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 \int \frac{2 x - 3}{{(x^{2} - 3 x + 5)}^{3}} d x$

Bước 6

Giả sử $u = x^{2} - 3 x + 5$ . Sau đó $d u = (2 x - 3) d x$ , nên $\frac{1}{2 x - 3} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Hãy đặt $u = x^{2} - 3 x + 5$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính đạo hàm $x^{2} - 3 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 5]$

Bước 6.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 3 x + 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 6.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 6.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 x$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 6.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 6.1.3.3

Nhân $- 3$ với $1$ .

$2 x - 3 + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 6.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.4.1

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x - 3 + 0$

Bước 6.1.4.2

Cộng $2 x - 3$ và $0$ .

$2 x - 3$

Bước 6.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$3 \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Bước 7

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Di chuyển $u^{3}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$3 \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

Bước 7.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{3})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int u^{3 \cdot - 1} d u$

Bước 7.2.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$3 \int u^{- 3} d u$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- 3}$ đối với $u$ là $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$3 (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Kết hợp $u^{- 2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$3 (- \frac{u^{- 2}}{2} + C)$

Bước 9.1.2

Di chuyển $u^{- 2}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (- \frac{1}{2 u^{2}} + C)$

Bước 9.2

Rút gọn.

$3 (- \frac{1}{2 u^{2}}) + C$

Bước 9.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$- 3 \frac{1}{2 u^{2}} + C$

Bước 9.3.2

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{2 u^{2}}$ .

$\frac{- 3}{2 u^{2}} + C$

Bước 9.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{3}{2 u^{2}} + C$

Bước 10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} - 3 x + 5$ .

$- \frac{3}{2 {(x^{2} - 3 x + 5)}^{2}} + C$

Bước 11

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{6 x - 9}{{(x^{2} - 3 x + 5)}^{3}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{3}{2 {(x^{2} - 3 x + 5)}^{2}} + C$